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DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA
El resultado de la comparación de dos cantidades de la misma especie, se llama razón o relación de dichas cantidades. Las razones o relaciones pueden serrazones por cociente o geométricas.
La razón por cociente o geométrica es el resultado de la comparación de dos cantidades homogéneas con el objeto de saber cuantas veces la una contiene a la otra.Observación: En geometría analítica las razones deben considerarse con su signo o sentido porque se trata de segmentos de recta dirigidos.
Consideramos los puntos A(X1,Y1) y B(X2, Y2) los extremos deuna recta. Sea P(X, Y) el punto de división que se encuentra entre la recta, como se indica en la figura:

Por su diferencia de segmentos se obtienen los valores de los catetos de dos triángulosrectángulos formados:

El punto P(X, Y) divide el segmento en la relación , como AB y PB mismo sentido el valor de r será positivo,
Si el punto P(X, Y) se encuentra fuera de los extremos A y B enel sentido de AP y PB serían opuestos y el valor de r será negativo como se indica en la figura siguiente:

Considerando los triángulos semejantes formados tendremos una relación de hipotenusas ycatetos de la siguiente manera:

Despejando a X;
, ,
factorizando
por lo tanto:
Análogamente:
despejando Y;
, , , factorizando
, por lo tanto:
Caso Particular:
Si el puntode división P(X, Y) está a la mitad del segmento AB como se indica en la figura tendremos:


Las coordenadas de P(X, Y) con el valor de r = 1 serán:


En este caso el punto P(X, Y) se lellaman el punto medio Pm y tendremos:

Donde:


Distancia entre dos puntos
DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA

Para hallar la distancia d de un punto A(X1,Y1) a una recta L traza la rectaL1 paralela a L y que pase por A(X1,Y1) como se indica en la figura.
x cos w + y sen w - p = 0 Ec de L
x cos w + y sen w - p (p+d) = 0 Ec de L1 por que ambas rectas son paralelas.
Las...
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