Regla De LHopital

Programa de Acceso Inclusivo, Equidad y Permanencia

PAIEP
Universidad de Santiago de Chile

Regla de L’Hˆ
opital
f (x)
cuando f (a) = g(a) = 0, pueden evaluarse utilizando el teorema que
g(x)
f (x)f ′ (x)
plantea, que si adem´as f (x) y g(x) son funciones derivables, entonces limx→a
= limx→a ′
.
g(x)
g (x)
Los l´ımites de la forma limx→a

Ejemplo 1
a) limx→0

0
tan(x)
, es la formaindeterminada . Luego,
x
0
1
tan(x)
sec2 (x)
1
= lim
= lim
= =1
x→0
x→0
x→0 cos2 (x)
x
x
1
lim

b) limx→4
c) limx→0

2x
0
x2 − 16
, es de la forma . Luego, limx→4
=8
x−4
0
1
ex + x · ex
x · ex
=
lim
= −1
x→0
1 −ex
−ex

Situaci´
on similar para aquellas expresiones, que tienen formas indeterminadas

∞
.
∞

Ejemplo 2
a) limx→+∞

x
∞
, es de la forma
. Luego, aplicando L’Hˆ
opital se tiene
ex
∞
1
1
x
= lim x ==0
x
x→+∞ e
x→+∞ e
∞
lim

b) limx→∞

6x2 − 12x − 1
12x − 12
12
2
2x3 − 6x2 − x
= limx→∞
= limx→∞
= limx→∞
= .
3
3x − 6x
9x2 − 6
18x
18
3

Lo anterior es por la aplicaci´
on del teorema que indica queel c´
alculo del l´ımite se puede
f (x)
f ′ (x)
f ′′ (x)
realizar, en forma reiterada, en el entendido que limx→a
= limx→a ′
= limx→a ′′
=
g(x)
g (x)
g (x)
. . . existan o no.

c) limx→+∞

5+
5x +2lnx
= limx→+∞
x + 3lnx
1+

2
x
3
x

=

5+0
=5
1+0

Material
wordcreado por el ´
area de Matem´
atica PAIEP 1

Otras formas de indeterminaci´
on son 0 · ∞, ∞ − ∞, 1∞ . Por ejemplo, si la forma es 0 · ∞,para
0
1
∞
1
o bien
·∞=
.
aplicar L’Hˆ
opital se escribe en la forma 0 · = ´
0
0
∞
∞
Ejemplo 3
a) limx→0+ x2 · lnx, es de la forma 0 · ∞. Luego, escribimos:
lim

x→0+

lnx
1
x

= lim

x→0+

1
x
−x12

= − lim

x→0+

Otra forma es ∞ − ∞, que puede transformarse en

x2
= − lim x = 0
x
x→0+

0
y de esta forma aplicar L’Hˆ
opital.
0

Ejemplo 4
a) limx→0

sinx − x
cosx − 1
−sinx
1
0
1
= limx→0
−
=limx→0
= limx→0
= = 0.
x sinx
x · sinx
sinx + xcosx
cosx + cosx − xsinx
2

x2 − x − 6 − 5x + 15
x2 − 6x + 9
x−3
5
1
= limx→3
− 2
=
lim
= limx→3 2
=
x→3
2
2
x+3 x −x−6
(x − 3)(x − x − 6)
(x − 3)(x − x −...