Regla de lhopital

Teorema de L’Hôpital
¿Cómo resolvíamos límites indeterminados? De acuerdo al caso o al ejercicio, podíamos trabajar algebraicamente la expresión para simplificar factores, podíamos comparar infinitésimos o infinitos, o utilizar límites notables. Recordemos con ejemplos lo que se acaba de expresar.
2   lim  1 + x3 1+ 3    x +2  1  x→∞  x lim 4 = lim = lim   1  x→∞  x   x→∞ x +1 x→∞ 4  x 1+ 4  lim  1 +   x→∞  x
3

2   1 x3  = lim   = 0 1  x→∞  x   x4 

2 sen(2 x ) sen(2 x ) 2 sen(2 x) sen(2 x) sen(m) lim = lim 2 = lim = 2. lim = 2 lim =2 x x 2x m x→ 0 x→ 0 x→ 0 m→ 0 ( 2 x)→0 ( 2 x)
ln x = 0 , por comparación de infinitos x→∞ x lim
2 2 1 2 x   lim  1 +  = lim (1 + u) u =  lim (1 + u) u  = e 2 x x→∞  u→ 0  u→ 0  2 u= ⇒ u→ 0 xVeremos ahora el teorema de L’Hôpital, que nos permitirá resolver límites 0 ∞ o utilizando derivadas, y en general de una manera indeterminados de la forma 0 ∞ más sencilla que las formas utilizadas hasta ahora. Teorema de L’Hôpital: Sean las funciones f y g, derivables en un entorno reducido de un punto a, y g ' ( x ) ≠ 0 para todo punto x del entorno. f ' ( x) f ( x) = L , entonces lim = L Si lim f( x ) = 0 y lim g ( x) = 0 y lim x→ a x→ a x→ a g ' ( x ) x→ a g ( x )

Demostración

 f ( x ) si x ≠ a Sean F ( x ) =  y G( x) = si x = a 0
ANÁLISIS MATEMÁTICO I Fac. Ingeniería – U.N.Sa.

 g ( x) si x ≠ a  si x = a 0
Pág. 1/8 Teorema de L`Hôpital

Observación: la definición de estas funciones a partir de las funciones f y g nos permite demostrar que el teorema de L’Hôpitalvale también para el caso en que las funciones f y g no sean continuas en x=a.

lim F ( x ) = lim f ( x ) = 0 y F (a ) = 0 , entonces F es continua en x=a
x→ a x→ a

lim G ( x ) = lim g ( x ) = 0 y G (a ) = 0 , entonces G es continua en x=a
x→ a x→ a

Vamos a trabajar con valores de x a la derecha de a en el entorno E h (a ) , es decir trabajaremos con [a , x] ⊆ E h (a ) , donde x ∈ (a , a +h) Puede aplicarse el T.V.M.G., por lo que resulta que ∃ c ∈ (a , x ) /

F ' ( c) F ( x ) − F ( a ) = G ' ( c) G ( x ) − G ( a )
(*)

Como F (a ) = G (a ) = 0 , la ecuación anterior resulta:

F '(c) F ( x ) = G '(c) G ( x )

∀ x ∈ (a , a + h) , F ( x) = f ( x ) y G ( x) = g ( x) , resulta: F '( x) = f '( x ) ⇒ F ' (c) = f '(c) G '( x) = g ' ( x ) ⇒ G '(c) = g '(c)
Tomando límite alcociente

(**) (***)

F ( x) , y teniendo en cuenta las definiciones de F y G, y las G( x) ecuaciones (*), (**) y (***), resulta:

lim
x→ a

+

f ( x) F ( x) F '( x) f '(c) = lim = lim = lim + G( x) + G '( x ) + g ' ( c) g ( x ) x→ a x→ a x→ a

Tomando en cuenta que c ∈ [a , x ] , si x → a + entonces c → a + , por lo que resulta: f ( x) f '(c) f ' ( x) lim = lim = lim = L x→ a + g ( x )c→ a + g '( c) x→ a + g ' ( x )

De una manera similar se demuestra trabajando con f ( x) f ' (c) f ' ( x) = lim = lim = L x ∈ (a − h, a ) , que lim x→ a − g ( x ) c→ a − g '( c) x→ a − g '( x ) Como lim
f ( x) f ( x) = lim = L , entonces: g ( x ) x→ a − g ( x )

[ x, a ] ⊆

E h (a ) , donde

x→ a +

ANÁLISIS MATEMÁTICO I Fac. Ingeniería – U.N.Sa.

Pág. 2/8 Teorema de L`Hôpitallim
x→ a

f ( x) = L g( x)

s.q.d.

Ejemplo:

sen(2 x ) L ' H cos(2 x ).2 = lim =2 x 1 x→ 0 x→ 0 lim

Generalizaciones: 1) Indeterminación del tipo

0 cuando x → ∞ 0
x→∞

Si lim f ( x ) = 0 y lim g ( x ) = 0 , entonces lim
x→∞ x→∞

f ( x) f '( x ) = lim g ( x) x→∞ g ' ( x )

Demostración:

  1    1 f   L'H  f '  t   . −  t f ( x)     lim = lim = lim x→∞g ( x ) t → 0  1 t → 0   1   g   g'  t   .  −  t     haciendo x = 1 ⇒ t→ 0 t

  1   f ' t   f '( x)    = lim = lim 1  t → 0   1  x→∞ g '( x)   g'  t   t2     1  t2 

2) Indeterminación del tipo

∞ cuando x → a ∞
x→ a

Si lim f ( x ) = ∞ y lim g ( x ) = ∞ , entonces lim
x→ a x→ a

f ( x) f '( x ) = lim g ( x ) x→ a g ' ( x )

3)...