Regresión lineal

Matemática Superior Aplicada
matematica_superior_aplicada@yahoo.ar Auxiliares de Cátedra: Javier Francesconi (jfrancesconi@frro.utn.edu.ar) (jfrancesconi@frro.utn.edu.ar) Juan Pablo Camponovo (jcamponovo@frro.utn.edu.ar) (jcamponovo@frro.utn.edu.ar) Juan Ignacio Manasaldi (jmanasaldi@frro.utn.edu.ar) (jmanasaldi@frro.utn.edu.ar)

www.modeladoeningenieria.edu.arwww.frro.utn.edu.ar/~jfrancesconi Alt+126

Recopilación y procesamiento de datos Experimentos – Medición

E = mc 2 y = a + bc

Modelo matemático del fenómeno físico-químico

Estimación de los parámetros del modelo

y = a0 + a1 x + a2 x 2 + L + an x n
y = ax + b
Modelos Lineales respecto a los parámetros

y = a + b ln( x)

y = ax b
Linealización

y = aebx = a exp(bx)

ln( y ) = ln(axb ) = ln a + b ln x ln(y ) = ln(aebx ) = ln a + bx y + = a + + bx +
y + = a + + bx

k Conductividad Térmica x x x x x x Temperatura

x

k = x1 + x2 T + x3T
r = Ax − y
min r
x≠0 2 2

2

= min Ax − y
x≠0

2 2

T

Vector términos independientes

Parámetros de Modelización

Matriz de las Funciones de Modelización

1 T1  1 T2 A= M M  1 TN 

T12   T2 2   2 TN  

 k1  k  y= 2M    kN 

 x1  x =  x2     x3   

v Velocidad de Reacción x x x x x x Temperatura
1   1  T  1   1   1 A =  T2    M M    1  1  TN   

x

v = ke

−

E RT

 E  = k exp  −   RT 

E 1 ln v = ln( k ) − R T y = a + bx

r = A p − y min r 2 = min A p − y 2 x≠0 x≠0
2

2

T

Vector términos independientes

Parámetros de ModelizaciónMatriz de las Funciones de Modelización

 ln v1   ln v  y= 2  M    ln vN  

ln(k )  a   p= = E = b   −   R

Si queremos ajustar los siguientes datos por una recta

( xi , yi )
x 65.7 66.8 67.2 69.3 69.8 70.5 70.9 y 62 64 65 69 70 71 72
72 71 70 69 68 67 66 65 64 63 62 65 y

y = mx + h

xi
65.7  66.8   67.2   69.3  69.8   70.5  70.9 

yi
1 62   64  1     65 1  m   1   =  69  h   1 70    1  71 72  1   

66

67

68 x

69

70

71

Métodos de Mínimos Cuadrados
Sum = ∑ ( yi − yi
N i =1 * 2

y x x
y
* 1

x x

) = ∑ ( y − ( mx
N i =1 i

i

+ h))

2

x x
x1

x

Condición de Mínimo

y1

x

m=

yx − y x x2 − x
2

∂Sum =0 ∂m ∂Sum =0 ∂h
1 J= N

y = mx1 +h
* 1

∑j
i =1

N

i

y2* = mx2 + h M y N * = mxN + h

h = y − mx

%Mínimos Cuadrados m=(y*x‘/n-sum(y)/n*sum(x)/n)/(x*x‘/n-(sum(x)/n)^2) h=(sum(y)-m*sum(x))/n

Técnicas Matriciales - Ecuaciones Normales
 r1  65.7  r   66.8  2   r3   67.2     r4  =  69.3  r5   69.8     r6   70.5  r   70.9  7  1 62  64  1     65 1  m   1   − 69 h   1 70    1  71 72  1   

min r
x ≠0
T

2 2

= min Ax − y
x ≠0
T

2 2

A Ax − A y = 0
x = ( ata ) b = A A
−1 T
65.7  66.8   67.2   69.3  69.8   70.5  70.9  1   1   1   1  A 1   1   1  

(

)

−1

A A x=A y { {
T T

A y

T

ata

b

62  64     65   69  70     71 72    65.7 66.8 67.2 69.369.8 70.5 70.9   1 1 1 1 1 1 1    1444444442444444444 4 3
AT

65.7 66.8 67.2 69.3 69.8 70.5 70.9   1 1 1 1 1 1 1    1444444442444444444 4 3
AT

197797 / 6 2401 / 5  T  ata = A A  2401 / 5 7   

162473 / 5  T  473   b = A y  

197797 / 6 2401 / 5  x1  162473 / 5 =  2401 / 5 7   x2   473      

Eliminación Gausiana

 x1   m   1.9144  x  =  h  =  −63.7903   2   

%Ecuaciones Normales A=[t', ones(n,1)] ata= A'*A aty= A'*y' x=ata\aty

Descomposición QR
min r
x≠0 2 2

= min Ax − y
x≠0

2 2

A = QR

Q QRx = Q y
T T

64 744 4p 8  r11 r12 L r1 p   a11 L a1 p 0 r L M  a 22  a2 p  q11 L q1N    21    0 0 O rp −1 p  M = M M  N M   0 0 0 rpp   M M  qN 1 L qNN     144 244   M...