Regresion Cuadratica

ANALISIS DE REGRESION CUADRATICA
Ing. Agr. Luis Manfredo Reyes Chávez
Profesor Titular Departamento de Estadística

1. INTRODUCCION:
El modelo de regresión cuadrática es una alternativa cuando el modelo lineal no logra un coeficiente de determinación apropiado, o cuando el fenómeno en estudio tiene un comportamiento que puede considerarse como parabólico. La forma más simple de tratar deestablecer la tendencia es a través de un diagrama de dispersión o nube de puntos, tal como la siguiente:



Este modelo también es conocido como parabólico, y es el caso más simple de modelos de regresión polinomiales, siendo su grado igual a 2.

2. Ecuación característica
La función que define el modelo es la siguiente:

Yi=A+Bxi+Cxi2+E

En la cual:
Yi : Variable dependiente,iésima observación
A, B, C: Parámetros de la ecuación, que generalmente son desconocidos
E: Error asociado al modelo
Xi : Valor de la í-esima observación de la variable independiente

Al sustituir los parámetros por estimadores, el modelo adopta la siguiente forma:

yi=a+bxi+cxi2


3. Tabla de datos
Para el ajuste de un conjunto de datos al modelo cuadrático de regresión, se construyela siguiente tabla de datos:

X y X2 X3 X4 X* y X2*y y2

.. .. .. .. .. .. .. ..


Σx Σy Σx2 Σx3 Σx4 Σ x*y Σx2y Σy2


4. Estimadores del modelo
los estimadores para el ajuste del modelo se calculan de la siguiente manera:




La regresión cuadrática: es el proceso por el cuál encontramos los parámetros de una parábola que mejor se ajusten a una serie dedatos que poseemos, ya sean mediciones hechas o de otro tipo. Bueno, pero por que habríamos de querer ajustar nuestros datos precisamente a una parábola y no a otra función?
DIAGRAMA DE DISPERSION:

Una función cuadrática o de segundo grado se puede representar de manera genérica como :
Y= a+bx+cx^

EJEMPLO:

sumatorias de la matriz:
Por lo tanto: a=9.6 b=1.76 c=2.02
la parábola de mejorajuste es entonces:



REGRESION EXPONENCIAL:

Será aquella en la que la función de ajuste será una función exponencial del tipo

y = a.bx

La regresión exponencial aunque no es lineal es linealizable tomando logaritmos ya que haciendo el cambio de variablev = log y tendremos que la función anterior nos generaría:

v = log y = log( a.bx) = log a + x log b
la solución de nuestroproblema vendría de resolver la regresión lineal entre v ý x, y una vez obtenida supuesta ésta:v* = A + B x ; obviamente la solución final será:

a = antilog A y b = antilog B.



Publicado por maris en 22:25
1 COMENTARIO:
1.

Fernando7 de mayo de 2009 22:50
Aunque asuste mucho, una regresión exponencial es igual que una lineal. Sólo hay que tomar logaritmos a ambos lados de la ecuaciónde regresión (esto se llama "técnicamente" un cambio de variable). Así:
Y=a*exp(b*X)
se queda en:
ln(Y)=ln(a)+b*X
Si ahora haces:
u=ln(Y)
v=ln(a)
tienes:
u=v+b*X, que es el modelo lineal de toda la vida y, todo lo que sepas de él, será aplicable, salvo cambios de variable, al exponencial.

18.2 Funciones no lineales de una sola variable independiente
En esta sección se presentandos métodos para la modelización de una función de regresión no lineal.
Por simplicidad, estos métodos se desarrollan para una función de regresión no lineal que incluye una sola
variable independiente, X. No obstante, tal y como se vio en la Sección 8.5, estos modelos pueden ser modificados
de forma que incluyan varias variables independientes.
El primer método presentado en esta sección esla regresión polinomial, una extensión de la regresión
cuadrática utilizada en la última sección para modelizar la relación entre las calificaciones en los exámenes
y la renta. El segundo método utiliza los logaritmos de X, de Y, o de ambos. A pesar de que estos métodos se
presentan por separado, pueden utilizarse combinados.
El Apéndice 8.2 proporciona un tratamiento de los modelos de esta...