Regresion lineal

Introducción al análisis de Regresión
En ocasiones hay fenómenos los cuales involucran varias variables, las cuales tienen entre sí algún tipo de relación. El objetivo principal es describir mediante un modelo matemático la relación entre las variables. Por ejemplo, se puede describir la relación entre los gastos en mantenimiento de un grupo de máquinas, con su antigüedad en meses y el nivel decapacitación de los operarios que las manejan. Aspectos principales Se supone que existe una variable dependiente o respuesta, la cual puede ser explicada por una o varias variables, llamadas variables independientes ó explicativas. El objetivo es estimar mediante un modelo, el efecto que tienen los cambios en las variables explicativas en la variable respuesta. Regresión lineal simple. En estecaso se tienen solamente dos variables cuantitativas: la variable dependiente o respuesta, que usualmente se nota Y y la variable independiente o explicativa, que usualmente se nota como X. Se tienen entonces n pares de observaciones (Yi , Xi), para i= 1,2,…,n. En este caso el conocimiento del comportamiento de la variable explicativa X permite predecir a través de un modelo, el comportamiento de lavariable dependiente. En este caso el modelo que representa la relación estadística existente entre la variable Y y la variable X es el siguiente:

Yi = α + βX i + ei ,

i = 1,2,..., n

en donde α y β se denominan los parámetros del modelo, los cuales deben ser estimados a partir de los datos. Ei es el error aleatorio propio del modelo. Como el modelo describe una relación lineal entre X yY, en el modelo α representa el punto donde la recta corta al eje Y y β representa la pendiente de la misma. Estimación de los parámetros del Modelo Al estimar de la información disponible para X y Y, los parámetros α y β, entonces tenemos la recta ajustada:

ˆ Yi = a + bX i ,

i = 1,2,..., n
1

Entonces se dice que esta es la recta estimada que describe la relación existente entre X y Y.Así mismo, se tiene entonces una estimación del error aleatorio ei como sigue:

ˆ ˆ ei = Yi − Yi ,

i = 1,2,..., n

Estimación de los parámetros del modelo y supuestos A través del método de mínimos cuadrados se obtienen estimaciones de α y β como sigue. Dada la muestra de tamaño n (Xi, Yi), i=1,2,…n, las estimaciones de mínimos cuadrados a y b de α y β respectivamente, se calculan con lasfórmulas:

 n  n  n∑ xi yi −  ∑ xi  ∑ yi     i =1  i =1  i =1  b= 2 n  n  n∑ xi2 −  ∑ xi    i =1  i =1 
n

(1)

 n  ∑ yi − b ∑ xi    i =1  i =1  a= n
n

(2)
2

Los supuestos del modelo son los siguientes: Los errores aleatorios son independientes. Los errores aleatorios tienen distribución normal. Coeficiente de determinación Sirve para evaluar el ajustedel modelo. Indica que proporción de la variación total variable 2 respuesta es explicada por el modelo ajustado. Su notación es R .

( yi − y ) 2 ∑ ˆ R2 =

n

∑(y
i =1

i =1 n

i

− y)2

ˆ es la media de Y y yi es valor estimado de Yi. Usualmente este valor se en donde multiplica por 100 y se expresa en porcentaje. Lo ideal es que el coeficiente de determinación sea superior al75%.
2 Estimación de la varianza del error σ

y

El estimador de

σ 2 se denota como S2 y está dado por

ˆ ( yi − yi ) 2 ∑ S2 =
Ejemplo.
En un determinado colegio, se desea investigar la relación existente entre el peso y la estatura, de las personas mayores de 18 años. Para esto se seleccionó una muestra de 11 personas, a las cuales se indagó por la estura en metros y el peso enkilogramos con los siguientes resultados:
ESTATURA 1,52 1,65 1,75 1,5 1,58 1,8 1,75 1,7 1,68 PESO 50 65 70 62 60 85 82 75 65

n

i =1

n−2

3

1,57 1,45

60 52

Ajustar un modelo de regresión lineal simple, en el cual la variable respuesta sea la estatura. Graficar la recta de regresión estimada y calcular e interpretar el coeficiente de determinación.
1,85 1,8 1,75 ESTATURA 1,7 1,65...