Reguladores Autosintonizables Indirecto

Control Adaptable
Reguladores Autosintonizables indirecto
Sistema lineal que va a ser modelado por una ecuación de diferencias, en tiempo discreto.
Modelo paramétrico de la planta.

yt+n+aiyt+n-1+a2yt+n-2+…+ an-1yt+1+anyt=
boUt+n-d0+b1Ut+n-d0-1+…+bn-do-1Ut+1+bn-doU(t)

Dónde:
d0 = retraso en la planta.
y = salida
U = entrada
n = orden del modelo

Usando a q como operador deadelanto (en lugar de z) tenemos:
(qn+a1qn-1+a2qn-2+…++an-1q+an)y(t)=
(boqn-d0+b1qn-d0-1+…+bn-do-1q+bn-d0)U(t)

Es lo mismo que escribir.
Aqyt=Bqu(t) [1]

Para la ecuación anterior se debe de cumplir lo siguiente:
degA = n (grado de A = n) A es Mónico (Es decir, si el coeficiente del término de mayor grado es 1.)
degB = n-d0

Si consideramos que la entrada contiene ruido entonces podemosescribir [1] como:
Aqyt=Bq(ut+vt) [2]
Ayt=B(ut+vt)

El controlador de la planta tiene el siguiente modelo.
Rut=Tuct-Sy(t) [3]

Dónde:
R, T y S = polinomios de q R es Mónico.

Fig2
y=BAu+v, u=TRUc-SRy

y=BTARUc-BSARy+BAv

1+BSARy=BTARuc+BAv

AR+BSARy=BTARuc+BAv

y=BTAR+BSuc+BRAR+BSv

u=TRuc-SRBTAR+BSuc+BRAR+BSv

u=TR-SBTR(AR+BS)uc-SBAR+BSvu=TAR+BS-SBTR(AR+BS)uc-SBAR+BSv

u=TAR+SBT-SBTR(AR+BS)uc-SBAR+BSv

u=TAR+SBT-SBTR(AR+BS)uc-SBAR+BSv

u=TAAR+BSuc-BSAR+BSv

u=TAAcuc-BSAcvy=BTAcuc+BRAcv [4]

Sea
Ac=AR+BS [5]
(Polinomio característico)

El criterio de diseño para nuestro controlador consiste en especificar el polinomio Ac.
Con esta información podemos determinar R y S de manera automática.
Para poder determinar Tse necesita especificar una condición adicional que relacione la salida con la señal de referencia
Amyt=Bmuct [6]
Dónde:
Am y Bm son polinomios.

Combinando [4], [5] y [6] tenemos:

BTAR+BS=BTAc=BmAm para v=0

Para el caso general en que Ac≠ Am tenemos que considerar que hay factores comunes entre BT y Ac que se cancelan entre sí.
B=B+B-
Dónde B+ es unpolinomio mónico que contiene todos los factores que se cancelan entre B y Ac
Esto tiene dos implicaciones:
1. B- es un factor de Bm B-T = Bm

Bm=B-Bm' [9]

2. Am y b+ deben ser factores de Ac

AcB+=Am

Ac=A0AmB+ [10]

Como B+ es factor de Ac y de B entonces B+ debe ser también factor de R.
Ac=AR+BS → R es divisible entre B+

R=B+R' [11]

La ecuación [5] se puedeescribir ahora como:

A0Am=AR'B-S [12]

De [7] tenemos que
T=AcBmAmB=A0AmBBm'AmB

T=A0Bm' [13]


Para que el controlador sea causal (y en consecuencia realizable) es necesario que se cumplan las siguientes restricciones:
degS≤degR, degT≤degR

La ecuación [5] tiene dos incógnitas: R y S tengan grado mínimo.
Si (Ro,So) es una solución para [5] entonces (Ro+QB,So-QA)es también una solución de [5].

Ac=AR0+BS0
Como consecuencia, siempre es posible llegar a una solución tal que de S < deg A

Algoritmo MDPP (Minimum Degree Pole placement)
Datos de entrada:
A, B (modelo de la planta)
Ac, Am, Bm, Ao

Condiciones de compatibilidad:
deg Am= deg A
deg Bm = deg B
deg Ao = deg A – deg B+ - 1
Bm = B’m B- (divisible entre B-)

Paso 1:
Factorizar Bcomo B=B+B-, donde B+ es un polinomio Mónico que contienen a todos los ceros estables de B.
Paso 2:
Encontramos R’ y S tal que A AR'+B-S=A0Am degS<degA
Paso 3:
Encontramos R y T a partir de R=R'B+ y T= A0Bm'

Salida:
R, S y T para construir el modelo del controlador: Ru=Tuc-Sy

Ejercicio:
Planta:
0.1065q+0.0902q2-1.6065q+0.6065=B(q)A(1)

Modelo deseado:Bm(q)Am(q)=0.1761qq2-1.3205q+0.4966

Bq=q+0.8469480.1065
B+q=q+0.846948, B- =0.1065

degA0=degA-degB+-1=2-1-1=0
A0=1
degS<degA=>degS=1
degAR'+B-S=degAoAm=2
degAR'=2=>degA+degR'=2
=>deg(R')=0
R’ es Mónico => R’=1
AR'+B-S=A0Am
q2-1.3205q+0.49661+0.1065S0q+S1
-1.6065+0.1065S0=-1.3205 S0=2.6854
0.6065+0.1065S1=0.4966 S1=-1.0319...