relaciones binarias

TEOREMA DE ROLLEnSi una función f(x) es
1. continua en un intervalo cerrado [a, b]
2. derivable en el intervalo abierto (a, b)
3. f(a) = f(b)

entonces existe al menos un punto c tal que
f´(c)= 0

Geométricamente, este teorema expresa la existencia de un punto c de (a, b) tal que la recta
tangente en (c, f(c)) es paralela al eje OX
Por ser f(x) continua en el intervalo cerrado [a, b],la función alcanza un máximo y mínimo
(teorema de Weierstrass). De este hecho se obtienen tres posibilidades, tal como se indica en
las siguientes figuras:

Y

Y

Y
f´(c)=0
f(a)=f(b)f´(c)=0
f(a)=f(b)
f(a)=f(b)
O

f´(c)=0
a

c

b

X

O

a

c

b

O

a

b

c

X

Si el valor máximo o mínimo se presenta en un punto c de (a, b), entonces por el teorema de laderivada en un punto máximo, f´(c) = 0
Si los valores máximo y mínimo se presentan ambos en los extremos, entonces son iguales, ya
que f(a) = f(b), luego la función f(x) es constante.
Por tanto,para todo punto c de (a, b), f´(c) = 0

TEOREMA DEL VALOR MEDIO DEL CÁLCULO DIFERENCIAL O
TEOREMA DE LAGRANGE
Si una función f(x) es


Continua en un intervalo cerrado [a, b]



Derivableen el intervalo abierto (a, b)

Entonces existe al menos un punto interior c de (a, b) tal que

Lo cual equivale a

Nenina Martín Ossorio
1

Expresión que recibe el nombre de fórmula deincrementos finitos.
La interpretación geométrica del teorema de Lagrange nos dice que si la gráfica de una
función continua tiene tangente en todo punto del arco AB, entonces hay por lo menos un puntoC en el que la tangente es paralela a la secante AB.

Y

B
C
f(b)-f(a)

A

O

a

c

b

X

b–a

Ejercicios resueltos
1.- Dada la función f(x) = x2 – 4x + 1, ¿verifica lascondiciones del teorema de Rolle en
el intervalo [1, 3]? En caso afirmativo, encontrar el valor de c de (1, 3) donde se anula la
derivada.
Solución: Teorema de Rolle
Si una función f(x) es
1....