relaciones matematicas

3.4 Relaciones.
3.4.1 Definición. Una relación es un conjunto de parejas ordenadas.
Si A y B son dos conjuntos cualesquiera, R es una relación de A en B sí y sólo sí R es subconjunto de A x B.
Si R  A x A se dice que R es una relación de A en A o simplemente una relación en A.
0 y A x B son relaciones de A en B, puesto que 0  A x B y A x B  A x B.


Si (x,y)  R se escribe x R y yse lee "x está en relación con y".


Ejemplo 1:
Sean: A = {1, 3, 5}, B = {2, 4, 6, 8}.
R1 = {(3, 2), (1, 8), (5, 4)} es una relación de A en B.
R2 = {(3, 8)} es una relación de A en B.
R3 = {(x, y) / x  A  y  B  x  y} = {(3, 2),(5, 2),(5, 4)}.
R4 = {(x, y) / x  A  y  B  x  y  7}
     = {(1, 2), (1, 4), (1, 6), (3, 2), (3, 4), (5, 2)}.
R5 = {(1, 5), (3, 3)} es unarelación de A en A.
R6 = {(2, 3), (6, 1)} es una relación de B en A.
R7 = {(3, 6), (1, 4),(5 ,8), (2, 1)} no es una relación de A en B y tampoco de B en A.
R8 = {(x, y) / x  A , y  B, x  y = 0} = 0.
3.4.2 Dominio de una Relación.
Definición. Sea R una relación. Se llama Dominio de R y se denota por D(R) al conjunto formado por todas las primeras componentes de las parejas ordenadas quepertenecen a R. Por lo tanto:

D(R) = { x / ( y) (x, y)  R}

En consecuencia,
x  D(R)  ( y)((x, y)  R).
x  D(R)  ( y)((x, y)  R).



3.4.3 Rango de una Relación.
Definición. Sea R una relación. Se llama Rango de R y se denota por (R) al conjunto formado por todas las segundas componentes de las parejas ordenadas que pertenecen a R. Por lo tanto:
 (R) = { y / ( x) (x, y) R}
En consecuencia,
y   (R)  ( x)((x, y)  R).
y   (R)  ( x)((x, y)  R).

Ejemplo 2. En las relaciones del ejemplo 1 se tiene:
D(R1) = {3, 1, 5}  (R1) = {2, 8, 4}
D(R2) = {3}  (R2) = {8}
D(R3) = {3, 5}  (R3) = {2, 4}
D(R4) = {3, 1, 5}  (R4) = {2, 4, 6}
D(R5) = {3, 1}  (R5) = {5, 3}
D(R6) = {2, 6}  (R6) = {3, 1}.

Ejemplo 3. Sea S = {(x, y) / x  Ry  Ry x}.
El siguiente gráfico es un representación cartesiana de S. La recta y = x no hace parte de S.



Ejemplo 4. Sea A = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 3}. Sea R la relación:
"x es menor que y"

Entonces, R = {(1, 2), (2, 3), (1, 3)}.
              D(R) = {1, 2},  (R) = { 2, 3}.



3.4.4 Teorema. Sea R una relación, A y B dos conjuntos. R es una relación de A en B sí y sólo sí D(R)  A y (R)  B.

3.4.5 Relación inversa. Definición. Sea R una relación. Entonces la relación {(y, x) / (x, y)  R} se denomina relación inversa y se denota R1. En consecuencia,
(y, x)  R1  (x, y)  R.
(y, x)  R1  (x, y)  R.
Si R es una relación de A en B, entonces R1 es una relación de B en A.




3.4.7 Relación reflexiva en un conjunto.

3.4.7.1 Definición. R es una relaciónreflexiva en un conjunto A sí y sólo sí R es una relación en A y todo elemento de A está relacionado con sigo mismo. Es decir R es reflexiva en A si y sólo sí,
R  A x A  ( x  A) ((x, x)  R).
R no es reflexiva en A si y sólo si,
R  A x B  ( x  A) ((x, x)  R).

Ejemplo 8.
Sea A = {1, 3, 5}.
R1 = {(1, 3), (3, 5), (1, 1), (5, 1), (5, 5), (3, 1), (3, 3)} es reflexiva en A.
R2 ={(1, 1), (5, 3), (5, 5), (3, 1)} no es reflexiva en A.
Ejemplo 9.
A es reflexiva en A cualquiera sea A  0.
Ejemplo 10.
A2 es reflexiva en A cualquiera sea A  0.
3.4.7.2 Teorema. R es reflexiva en A sí y sólo sí A  R.



3.4.8 Relación simétrica en un conjunto.
3.4.8.1 Definición. R es una relación simétrica en A sí y sólo sí R es relación en A y cualesquiera sean los elementosx,y de A se verifica que si x R y entonces y R x. En consecuencia:
R es simétrica en A  R  A x A  ( x)( y) ( x R y  y R x).
R no es simétrica en A  R  A x A  ( x)( y) (x R y  y x).


Ejemplo 11.

Las relaciones A y A2 son simétricas en A cualquiera sea A.
Ejemplo 12
Sea A = {3, 4, 2} entonces:
R = {(2, 3), (3, 4), (4, 3), (3, 2), (4, 4)} es simétrica en A.
S =...