Reporte del Teorema Integral de Green

Teorema Integral de Green
El teorema de Green establece la relación entre una integral de línea alrededor de una curva C cerrada y simple, y una integral doble sobre la región plana D limitada porC.
El teorema de Green se llama así por el científico británico George Green y es un caso especial del más general Teorema de Stokes.
Este tipo de teoremas resulta muy útil ya que dados un campovectorial y una curva cerrada simple sobre cual hay que integrarlo, podemos elegir la posibilidad más simple entre poder integrar el campo directamente sobre la curva o bien integrar la diferencia de susderivadas parciales cruzadas sobre el recinto que este delimitando la curva.
Por otra parte, la relación así establecida entre la integral de la línea sobre una curva y la integral doble sobre laregión interior a ésta, permite a veces obtener información sobre una función o su integral en un espacio a partir del comportamiento de esta función sobre la frontera de dicho recinto.
Sea C una curvasimple y cerrada, suave a trozos y orientada positivamente, y sea F(x;y) = (P;Q) un campo vectorial cuyas funciones coordenadas tienen derivadas parciales continuas sobre una región abierta quecontiene a la región D acotada por C. Entonces:






Demostración del Teorema de Green
Notase que el Teorema de Green quedará demostrado si se prueba que:
1.-

2.-


Para demostrar laecuación 1 expresemos D como una región tipo I:

Donde f(x) y g(x) son funciones continuas. Esto permite calcular la doble integral del lado derecho de la ecuación 1 como sigue:
3.-

Donde en elúltimo paso se sigue el teorema fundamental del cálculo.
Ahora calculamos el lado izquierdo de la ecuación 1 descomponiendo C como la unión de las cuatro curvas C1, C2, C3 y C4 como se muestra en lafigura.
En C1 tomamos x como el parámetro y escribimos las ecuaciones para-métricas como y
Entonces

Observe que C3 va de derecha a izquierda, pero - C3 va de izquierda a derecha, de...