Teorema integral de green

El teorema integral de Green es de gran importancia en el cálculo integral porque establece una relación fundamental entre la integral doble y la integral de línea.
Sea R una región regular que es al mismo tiempo del tipo I y del tipo II, cuya frontera es la curva seccionalmente lisa C, recorrida en sentido positivo (o sea en sentido contrario al de las manecillas del reloj). Y sean lasfunciones escalares M(x,y) y N(x,y) con derivadas parciales continuas en R. Entonces se cumple que:

Donde
(No hay que confundir la derivada My con el concepto de momento estático respecto al eje y, que fue denotado por My)
Demostración:

Suponiendo que R es simplemente un rectángulo. Se demuestra por separado que:
Y
Después simplemente bastara sumar ambos resultados. Por tantoconsiderar primero la región rectangular

En este caso se tiene que

También, para calcular se divide a C en los cuatro segmentos de recta C1, C2, C3, y C4 que se muestran en la fig. 6.23 (cada uno es una curva lisa). De esta forma se tiene que
Para
ya que sobre

ya que sobre
por loque

y por lo tanto

Y ahora integrando primero respecto a x, se tiene que

Que al sumarla con la expresión anterior teorema para el caso de regiones rectangulares.

El teorema de Green también es válido en regiones simplemente conexas, aunque no sean rectangulares, ejemplo; vea la siguiente fig.



Primero se divide la región R en subregiones R1, R2,…, Rn mediantelíneas verticales, de forma que cada subregión sea del tipo 1, como la de la fig. 6.24. De modo que se obtiene para cada subregión Ri la igualdad

Siendo Ci, la frontera de R.
Es importante notar que la frontera en dos regiones se tocan (ejemplo las regiones 1 y 2 fig. 6.25) es un segmento de recta vertical, entonces si se suman las igualdadescorrespondientes a las dos subregiones, la suma de las integrales de línea sobre ese segmento común se anula, y solo queda una integral de línea sobre la curva C12 que rodea a la unión de ambas subregiones. Así que se tiene que:

Repitiendo este razonamiento para todas las subregiones que forman a R, se tiene en general que

Si se procede de manera semejante, pero ahora subdividiendo ensubregiones a base de líneas horizontales, se prueba que

Finalmente, sumando las dos expresiones anteriores, se demuestra el teorema para regiones simplemente conexas.
Formas alternativas de expresar el teorema de Green
Sea R una región regular cuya frontera es la curva plana C recorrida en sentido positivo, el vector unitario tangente a C, y la diferencial de longitud de arco.Entonces:
1.- Si F = M(x,y)i + N(x,y)j es un campo vectorial continuamente diferenciable definido en R se tiene que

Ya que

Y

Por tanto el teorema de Green se puede expresar como

O como

2.- Considérense ahora a F y a como funciones de tres componentes, es decir:


Siendo la tercera componente igual a cero. De esta forma se sigue teniendo que

Por otro lado, si se calcula elrotacional de F se tendrá que

Y por lo tanto entonces:


Así que

O bien

3.- Sea F el campo vectorial dado por

Sea n el vector unitario normal a la curva C que apunta hacia el exterior de R. como C está recorrida en sentido positivo el vector obteniéndose


En donde vemos queefectivamente Entonces:


Por lo tanto

Donde en la última igualdad se ha utilizado el teorema de Green en su forma usual. Por otro lado, se puede escribir como

Si se supone que F está definido en un espacio tridimensional, o bien como

Si se supone que está definido en un espacio bidimensional. En cualquier caso la ecuación se escribirá cómo...