Residuos y Polos

1 RESIDUOS Y POLOS En capítulo anterior se estudio el teorema de Cauchy-Goursat que establece que si una función f es analítica en los puntos interiores de un contorno cerrado simple C como en los puntos mismos del contorno, entonces el valor de la integral de f a lo largo de ese contorno C es cero. Sin embargo, si la función no es analítica en un número finito de puntos interiores a C , existeun número especifico llamado residuo, donde cada uno de estos puntos contribuye al valor de la integral. A lo anterior se agregan los diferentes fenómenos que pueden ocurrir en un punto interior z0 donde f no es analítica. Uno de los interrogantes que se plantea es: ¿Es siempre posible definir el valor f ( z0 ) de tal forma que f resulte analítica en ese punto z0 , y por tanto analítica en todo eldominio determinado por el contorno cerrado simple C ? La respuesta 1 es NO, como lo muestra el siguiente ejemplo f ( z )  , donde z0  0 . Lo anterior justifica z las definiciones que caracterizan dichos puntos y que permiten analizar los diferentes fenómenos que pueden ocurrir en estos.

Puntos Singulares Aislados
Un punto z0 se denomina punto singular de una función f si f no es analíticaen z0 pero es analítica en algún punto de todo entorno de z0 . Un punto singular z0 se dice que es aislado si, además, existe un entorno punteado 0  z  z0  de z0 en el que f es analítica. Nota: El término disco abierto perforado en z0 también es muy usado para expresar lo que se entiende por entorno punteado de z0 (ver ejemplo 8 página 18).
1 es analítica en todo el plano complejo excepto en z 0 . z El origen es un punto singular aislado de la función dada ya que existe un entorno punteado 0  z  0  en z  0 donde f es analítica, lo que significa que f admite desarrollo de Laurent en este entorno.

Ejemplo 1. La función f ( z ) 

Para más detalles de la analiticidad de f re-examinar o repasar el ejemplo 1 de la sección 23 de coordenadas polares. La utilidad que se hará de lospuntos singulares aislados es como sigue:
1 1 admite representación de Laurent, y como es a su vez la representación z z de Laurent centrada en z0  0 con b1  1 , bn  0 n  1 y an  0 n  0,1, 2,3,... , podemos usar la fórmula de los coeficientes bn del teorema 4 de Laurent cuando n  1 y z0  0 :

Ya que f ( z ) 

2

bn 

2 i  ( z  z )
C 0

1

f ( z ) dz
 n 1

, n  1,2,3,.....

1

f ( z )dz 2 i 
C

1



C

 z dz  2 i  2 i  Res[f(z);0]

1

Donde C es un contorno cerrado simple orientado positivamente de z  0 . El resultado confirma lo que se conoce del ejercicio 10 sección 42 y a su vez permite ir comprendiendo el teorema de Cauchy de los residuos que se estudiará mas adelante y que en este caso expresa que la integral es igual a 2i por el valor del residuo de f en z  0 . Ejemplo 2. Sea la función f ( z ) 

z2 . z ( z 2  1)
3

Como f ( z ) es un cociente de funciones analíticas salvo en los puntos z  0 y z   i , y existen discos perforados 0  z  , 0  z  i  y 0  z  i  donde f es analítica entonces se puede afirmar que f posee tres puntos singulares aislados en z  0 y z   i Nótese que aquí losradios  son todos iguales a 1 ya que son equidistantes. El mecanismo para el caso en que se tienen distancias distintas entre los puntos singulares es el siguiente: Fijamos un zk y tomamos la distancia mínima al punto singular más cercano y éste valor se toma como el radio  para el disco perforado alrededor del punto singular zk .

i

0
i

Figura 1. Los entornos o discos perforados de lospuntos singulares aislados donde f es analítica. Ejemplo 3. La rama principal del logaritmo tiene como punto singular el origen, z  0 .
f ( z)  Log z  ln r  i  r  0,      

3 Sin embargo este punto singular NO es aislado ya que todo disco perforado del origen contiene puntos del eje real negativo y la rama no esta definida en estos puntos (debido a la No continuidad de la rama). Es...