Series de potencias, polos y residuos
Páginas: 3 (722 palabras)
Publicado: 11 de febrero de 2014
1. SERIES DE POTENCIAS, RESIDUOS Y POLOS DE FUNCIONES ANALÍTICAS.
2.1. Serie de Taylor de una función analítica
Una serie de Taylor es una representación de una función como una infinitasumas de términos. Estos términos se calculan a partir de las derivadas de la función para un determinado valor de la variable (respecto de la cual se deriva), lo que involucra un punto específico sobrela función.
Si una serie de Taylor converge para todo x perteneciente al intervalo (a-r, a+r) o en un intervalo abierto (o un disco en el plano complejo) y la suma es igual a f(x), entonces lafunción f(x) se llama analítica.
1.2. Desarrollo de Laurent
La serie de Laurent de una función compleja f(z) es la representación de la misma función en la forma de una serie de potencias, lacual también incluye términos de grado negativo. Esta serie se puede usar para expresar funciones complejas en casos donde una expansión de la serie de Taylor no es aplicable o no se puede acoplar.
Unaserie de Laurent centrada alrededor de un punto es una serie de la forma:
, donde .
Una serie de Laurent se define con respecto a un punto particular c y un camino de integración γ. El caminode integración debe estar dentro de un disco donde f(z) es una función holormofa (a veces se usa como sinónimo el término función analítica, aunque no es estrictamente correcto, dado que una funciónanalítica es técnicamente aquella que admite desarrollo en serie de potencias en cierto entorno de un punto, lo que ocurre es que en ℂ toda función holomorfa es también analítica).
Los coeficientes deuna serie de Laurent en una función analítica se pueden encontrar por medio de la fórmula integral de Cauchy y están dados por:
para y
para
1.3. Residuos y polos
Residuos:
Sea f(z)una función analítica sobre un contorno cerrado simple C y en todo punto interior a C, salvo en z0. El residuo de f(z) en z0, que se denota por está definido por:
Polos:
Una función f se...
2.1. Serie de Taylor de una función analítica
Una serie de Taylor es una representación de una función como una infinitasumas de términos. Estos términos se calculan a partir de las derivadas de la función para un determinado valor de la variable (respecto de la cual se deriva), lo que involucra un punto específico sobrela función.
Si una serie de Taylor converge para todo x perteneciente al intervalo (a-r, a+r) o en un intervalo abierto (o un disco en el plano complejo) y la suma es igual a f(x), entonces lafunción f(x) se llama analítica.
1.2. Desarrollo de Laurent
La serie de Laurent de una función compleja f(z) es la representación de la misma función en la forma de una serie de potencias, lacual también incluye términos de grado negativo. Esta serie se puede usar para expresar funciones complejas en casos donde una expansión de la serie de Taylor no es aplicable o no se puede acoplar.
Unaserie de Laurent centrada alrededor de un punto es una serie de la forma:
, donde .
Una serie de Laurent se define con respecto a un punto particular c y un camino de integración γ. El caminode integración debe estar dentro de un disco donde f(z) es una función holormofa (a veces se usa como sinónimo el término función analítica, aunque no es estrictamente correcto, dado que una funciónanalítica es técnicamente aquella que admite desarrollo en serie de potencias en cierto entorno de un punto, lo que ocurre es que en ℂ toda función holomorfa es también analítica).
Los coeficientes deuna serie de Laurent en una función analítica se pueden encontrar por medio de la fórmula integral de Cauchy y están dados por:
para y
para
1.3. Residuos y polos
Residuos:
Sea f(z)una función analítica sobre un contorno cerrado simple C y en todo punto interior a C, salvo en z0. El residuo de f(z) en z0, que se denota por está definido por:
Polos:
Una función f se...
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