Resolucion De Sistemas De Ecuaciones
Páginas: 7 (1647 palabras)
Publicado: 26 de noviembre de 2012
MÉTODO DE GAUSS
(RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES)
El método de Gauss, conocido también como de triangulación o de cascada, nos permite resolver sistemas de ecuaciones lineales con cualquier número de ecuaciones y de incógnitas.
La idea es muy simple; por ejemplo, para el caso de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas se trata de obtener un sistema equivalentecuya primera ecuación tenga tres incógnitas, la segunda dos y la tercera una. Se obtiene así un sistema triangular o en cascada de la forma:
Ax + By + Cz = D
Ey + Fz = G
Hz = I
La resolución del sistema es ahora inmediata; basta calcular z en la tercera ecuación, llevar este valor de z a la segunda ecuación para obtener el valor de y, y así despejar la incógnitax en laprimera ecuación, conocidos ya z e y.
Al resolver un sistema puede suprimirse, sin que varíe su resolución, cualquier ecuación que pueda obtenerse a partir de otras aplicando los siguientes:
CRITERIOS DE EQUIVALENCIA.
Criterio 1.Producto o cociente por un numero real distinto de cero.
Si se multiplican o dividen los dos miembros de la ecuación de un sistema por un número distinto de cero,resulta otro sistema equivalente al dado. |
Criterio 2. Suma o diferencia de ecuaciones.
Si a una ecuación de un sistema se le suma o resta otra ecuación del mismo, resulta otro sistema equivalente al dado. |
Criterio 3. Reducción de ecuaciones.
Si en un sistema de ecuaciones lineales una ecuación es combinación lineal de otras, dicha ecuación puede suprimirse, siendo el sistema resultanteequivalente al dado. |
El Método de Gauss aplica estos criterios hasta conseguir que la última ecuación quede lo más reducida posible, fíjate como lo hace el ordenador y observa bien como se obtiene la clasificación del sistema a partir del sistema triangulado resultante.
Es importante añadir que el sistema resultante es dependiente de la forma en que apliquemos estos criterios, esdecir, las ecuaciones obtenidas no son siempre las mismas, pero si los hemos aplicado correctamente, el sistema es equivalente al dado.
El método de Gauss consiste en convertir un sistema "normal" de 3 ecuaciones con 3 incógnitas en uno escalonado , en el que la 1ª ecuación tiene 3 incógnitas , la 2ª tiene 2 incógnitas y la tercera 1 incógnita . De esta forma será fácil a partir de la últimaecuación y subiendo hacia arriba , calcular el valor de las 3 incógnitas .
Para transformar el sistema en uno que sea escalonado se combinarán las ecuaciones entre sí (sumándolas , restándolas , multiplicándolas por un número , etc.)
Ejemplo :
La 1ª ecuación siempre se deja igual , (procurando que esta sea la más sencilla) y a la 2ª y 3ª ecuación se debe anular el término que lleva la x .
Unavez que hemos anulado los términos en x debemos dejar fija la 1ª y 2ª ecuación y anular el término que lleva la y en la 3ª ecuación
De la última ecuación obtenemos que z = -256/-128 = 2, que sustituyendo en B’’ resulta
- y + 9·2 = 13 Þ y = 5
y a su vez sustituyendo en A’’ obtenemos que :
2x + 3·5 – 7·2 = -1 Þ x = -1
Por lo tanto la solución del sistema es (-1, 5, 2)
Clasificación de lossistemas :
Los sistemas de ecuaciones pueden ser de 3 tipos :
1. Sistema compatible determinado (S.C.D.) : una única solución
2. Sistema compatible indeterminado (S.C.I.) : infinitas soluciones
3. Sistema incompatible (S.I.) : no tiene solución
En el ejemplo anterior hemos obtenido un S.C.D. pero ¿cuándo obtendremos los otros dos tipos? .
* Cuando al realizar Gauss obtengamos 0 = K, siendo K un número distinto de 0 , tendremos un S.I. ya que obtenemos un absurdo .
Por ejemplo :
Dejamos fija la 1ª ecuación e intentamos anular la x de la 2ª y 3ª
Quitamos la y de la 3ª ecuación :
Como se observa hemos obtenido un absurdo , ya que 0 no es igual a 12 , por lo que el sistema no tiene solución .
* Cuando al realizar Gauss obtengamos 0 = 0 , es decir se nos anule...
(RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES)
El método de Gauss, conocido también como de triangulación o de cascada, nos permite resolver sistemas de ecuaciones lineales con cualquier número de ecuaciones y de incógnitas.
La idea es muy simple; por ejemplo, para el caso de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas se trata de obtener un sistema equivalentecuya primera ecuación tenga tres incógnitas, la segunda dos y la tercera una. Se obtiene así un sistema triangular o en cascada de la forma:
Ax + By + Cz = D
Ey + Fz = G
Hz = I
La resolución del sistema es ahora inmediata; basta calcular z en la tercera ecuación, llevar este valor de z a la segunda ecuación para obtener el valor de y, y así despejar la incógnitax en laprimera ecuación, conocidos ya z e y.
Al resolver un sistema puede suprimirse, sin que varíe su resolución, cualquier ecuación que pueda obtenerse a partir de otras aplicando los siguientes:
CRITERIOS DE EQUIVALENCIA.
Criterio 1.Producto o cociente por un numero real distinto de cero.
Si se multiplican o dividen los dos miembros de la ecuación de un sistema por un número distinto de cero,resulta otro sistema equivalente al dado. |
Criterio 2. Suma o diferencia de ecuaciones.
Si a una ecuación de un sistema se le suma o resta otra ecuación del mismo, resulta otro sistema equivalente al dado. |
Criterio 3. Reducción de ecuaciones.
Si en un sistema de ecuaciones lineales una ecuación es combinación lineal de otras, dicha ecuación puede suprimirse, siendo el sistema resultanteequivalente al dado. |
El Método de Gauss aplica estos criterios hasta conseguir que la última ecuación quede lo más reducida posible, fíjate como lo hace el ordenador y observa bien como se obtiene la clasificación del sistema a partir del sistema triangulado resultante.
Es importante añadir que el sistema resultante es dependiente de la forma en que apliquemos estos criterios, esdecir, las ecuaciones obtenidas no son siempre las mismas, pero si los hemos aplicado correctamente, el sistema es equivalente al dado.
El método de Gauss consiste en convertir un sistema "normal" de 3 ecuaciones con 3 incógnitas en uno escalonado , en el que la 1ª ecuación tiene 3 incógnitas , la 2ª tiene 2 incógnitas y la tercera 1 incógnita . De esta forma será fácil a partir de la últimaecuación y subiendo hacia arriba , calcular el valor de las 3 incógnitas .
Para transformar el sistema en uno que sea escalonado se combinarán las ecuaciones entre sí (sumándolas , restándolas , multiplicándolas por un número , etc.)
Ejemplo :
La 1ª ecuación siempre se deja igual , (procurando que esta sea la más sencilla) y a la 2ª y 3ª ecuación se debe anular el término que lleva la x .
Unavez que hemos anulado los términos en x debemos dejar fija la 1ª y 2ª ecuación y anular el término que lleva la y en la 3ª ecuación
De la última ecuación obtenemos que z = -256/-128 = 2, que sustituyendo en B’’ resulta
- y + 9·2 = 13 Þ y = 5
y a su vez sustituyendo en A’’ obtenemos que :
2x + 3·5 – 7·2 = -1 Þ x = -1
Por lo tanto la solución del sistema es (-1, 5, 2)
Clasificación de lossistemas :
Los sistemas de ecuaciones pueden ser de 3 tipos :
1. Sistema compatible determinado (S.C.D.) : una única solución
2. Sistema compatible indeterminado (S.C.I.) : infinitas soluciones
3. Sistema incompatible (S.I.) : no tiene solución
En el ejemplo anterior hemos obtenido un S.C.D. pero ¿cuándo obtendremos los otros dos tipos? .
* Cuando al realizar Gauss obtengamos 0 = K, siendo K un número distinto de 0 , tendremos un S.I. ya que obtenemos un absurdo .
Por ejemplo :
Dejamos fija la 1ª ecuación e intentamos anular la x de la 2ª y 3ª
Quitamos la y de la 3ª ecuación :
Como se observa hemos obtenido un absurdo , ya que 0 no es igual a 12 , por lo que el sistema no tiene solución .
* Cuando al realizar Gauss obtengamos 0 = 0 , es decir se nos anule...
Leer documento completo
Regístrate para leer el documento completo.