Resolucon ecuacion de onda

´ RESOLUCION DE LA ECUACION DE ONDA. ´ ´ DE VARIABLES. METODO DE SEPARACION 1 Ansatz= T´rmino utilizado para denominar una soluci´n estimada a una (o varias) e o a ecuaci´n(es) inicial(es) quedescriben un problema f´ o ısico y/o matem´tico. El m´todo de separaci´n de variables consiste en proponer un ansatz en el que e o la funci´n u se puede escribir como una funci´n que depende del tiempo yotras que o o dependen de las dem´s variables, es decir, como a

u = X(x)Y (y)T (t) Por ejemplo, supongamos una cuerda de guitarra estirada y que se suelta para sonar. La ecuaci´n de la cuerda es laecuaci´n de onda sin fuente en una dimensi´n, digo o o amos x. La ecuaci´n de onda es o ∂ 2u 1 ∂ 2u − =0 ∂x2 v 2 ∂t2 Ahora tomemos el anzatz u=X(x)T(t) y substituimos en la ecuaci´n de onda o ∂ 2X 1 ∂2T − 2X 2 = 0 ∂x2 v ∂t Si dividimos entre TX toda la ecuaci´n, nos queda una parte que s´lo depende de x o o y otra que s´lo depende de t. Como x y t son variables independiente se sigue que o T 1 ∂2T 1 ∂ 2X = 2 X ∂x2 v T ∂t2 = −c donde c es una constante arbitraria. La ecuaci´n de onda se separa en dos ecuao ciones diferenciales como la ecuaci´n del oscilador arm´nico o o d2 X + cX = 0 dx2

yd2 T + cv 2 T = 0 dt2 √ √ Cuyas soluciones son X(x) = c1 sen( c(x + x0 )) y T (t) = c2 sen( cv 2 (t + t0 )). La soluci´n de la ecuaci´n de onda es entonces o o √ √ u(x, t) = c1 sen( c(x + x0 ))sen(cv 2 (t + t0 )) Vamos a suponer que al tiempo t=0, el guitarrista pulsa la cuerda una elongaci´n o peque˜a l. Si la cuerda tiene una longitud L, se tiene que sen(0)= sen(x-L)=0. n

Esto quieredecir que al tiempo t=0, la cuerda tiene una elongaci´n tipo √ o sen(x), con los extremos fijos y puestos en x=0 y x=L. Es decir, u(x, 0) = c√ 1 sen( c(x + √ x0 ))sen( cv 2 (t0 )) = lsen(xπ/L). Estoimplica que c1 = l, x0 = 0, c = π/L y √ o a cv 2 t0 = π/2, es decir,c=1, t0 = L/(2v). La soluci´n ser´ entonces 2 x L vπ u(x, t) = lsen π sen t+ L L 2v Si en vez de una cuerda de guitarra se tuviera ena...