Resonancia

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iaRESPUESTA A LA FRECUENCIA
Introducción Tema 7.1: Resonancia en paralelo Tema 7.2: Resonancia en serie.

RESPUESTA A LA FRECUENCIA. INTRODUCCIÓN.
• El concepto de respuesta a la frecuencia es muy importante en muchos campos de la ciencia y la ingeniería ya que constituye los fundamentos para comprender el concepto de estabilidad (o inestabilidad) de un sistema. • Se aplica a sistemas detipo eléctrico, mecánico, químico o biológico. • Adicionalmente, en ingeniería eléctrica se aplica en otros campos, tales como comunicaciones que tienen que ver con separación de frecuencias (estaciones de radio ejemplo).

RESPUESTA A LA FRECUENCIA. RESONANCIA
• El fenómeno de resonancia puede ocurrir en circuitos que contienen ambas, inductancias y capacitancias. • Los sistemas resonantes puedenser de tipo eléctrico, mecánico (ver video), hidráulico, acústico y otros. Aquí estudiaremos los de tipo eléctrico. • La condición de resonancia puede ser o no deseable, depende del sistema físico que se esté utilizando.

RESPUESTA A LA FRECUENCIA. RESONANCIA
• En una red eléctrica que contiene al menos una inductancia y una capacitancia, la resonancia se define como la condición en la cualla impedancia de entrada de la red es puramente resistiva. • Una red está en resonancia (o es resonante) cuando el voltaje y la corriente en las terminales de entrada de la red están en fase.

RESONANCIA EN PARALELO: Circuito RLC
Admitancia:
⎛ 1 1 ⎞ Y = + j⎜ωC − ⎟ R ⎝ ωL ⎠

Condición de resonancia: Voltaje y corriente en terminales de entrada están en fase: ω C − 1 = 0 ωL Frecuenciaresonante: 1

o

LC 1 f0 = 2π LC

ω0 =

rad/s Hz

RESPUESTA A LA FRECUENCIA. RESONANCIA EN PARALELO (RLC)
• La configuración de polos y ceros de la admitancia Y(s) se encuentra a partir de:
Y(s ) = s 1 1 C 1 ⎞ + + sC = ⎛ s 2 + + ⎜ ⎟ s⎝ R sL RC LC ⎠
(s + α − jω d )(s + α + jω d ) s

• Factorizando al numerador:
Y(s ) = C

α = coeficiente de amortiguamiento exponencial

α=

1 2 RCωd = frecuencia resonante natural ω d = ω 0 2 − α 2

RESPUESTA A LA FRECUENCIA. RESONANCIA EN PARALELO (RLC) jω jω0 Plano s jωd Y(s) σ -α - jωd -α jω Plano s Z(s) jωd σ

ω0

- jωd

Polos y ceros de la admitancia de entrada de un circuito paralelo resonante en el plano s
ω d = ω02 − α 2
frecuencia resonante natural

Polos y ceros de la impedancia de entrada de un circuito paraleloresonante en el plano s.

ω02 = ωd2+α2

RESPUESTA A LA FRECUENCIA. RESONANCIA EN PARALELO (RLC)
Factor de Calidad Q es una cantidad universalmente aceptada para definir a un circuito resonante y se define como:
Máxima energía almacenada Q = 2π Energía total perdida

que también se puede expresar en términos de la energía instantánea almacenada en los elementos reactivos y la potencia promedioperdida en la resistencia:

[w L (t) + w C (t)]max Q = 2π
PR T

RESPUESTA A LA FRECUENCIA. RESONANCIA EN PARALELO (RLC)
Encontraremos que lo afilado de la CURVA DE RESPUESTA de cualquier circuito resonante se determina por la máxima cantidad de energía que se puede almacenar en el circuito, comparada con la energía que se pierde durante un período completo de la respuesta: |V(jω)|

ω1 ω0ω 2

ω

RESPUESTA A LA FRECUENCIA. RESONANCIA EN PARALELO (RLC)
Determinación del valor de Q a la frecuencia resonante para el circuito RLC: Si se tiene que el circuito paralelo tiene una fuente de corriente i(t ) = I cos ω t
m

y si se está trabajando en la frecuencia resonante, entonces el voltaje en la resistencia es v(t ) = R i(t ) = R I m cos ω 0t La energía almacenada en C está dadapor:
2 1 2 I m R 2C ω C (t ) = Cv = cos 2 ω 0t 2 2

RESPUESTA A LA FRECUENCIA. RESONANCIA EN PARALELO (Circuito RLC)

La energía almacenada en L está dada por 1 2 1 ⎛1 ω L (t ) = LiL = L⎜ ∫ Vdt ⎞ ⎟ 2 2 ⎝L ⎠
2

i(t ) = I m cos ω t

v(t ) = R i(t ) = R I m cos ω 0t

ω L (t )

2 I m R 2C = sen 2 ω 0t 2

Entonces la energía total almacenada es:
2 I m R 2C ω(t ) = ω L + ωC = 2...
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