Resumen Matematicas

8.2 SUCESIONES
8.2.1 Definición de función sucesiónUna función sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto (1, 2, 3,4,...n,...)De todos los números enteros positivos. |

Los números del contra dominio de una función sucesión se denominan elementos. Una sucesión consiste de los elementos de una función sucesión listados en orden.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 1
Sea f la funciondefinida por

8.2.2 Definición del límite de una sucesiónUna sucesión {an} tiene el límite L si para cualquier E > 0 existe un numero N>0 tal que si n es un numero entero y si n>N entonces |an-L| < Ey se escribe Lím an = Ln->+ ∞ |

8.2.3 TeoremaSi lím f(x) = L, y f esta definida para todo numero entero positivo, entonces también lím f(n) = L, cuando n se restringe a los númerosenteros positivos.n->+ ∞ |

Se aplica el teorema anterior a la sucesión (1) donde f(n) = n/(2n+1), de modo que f(x)= x/(2x+1)

8.2.4 TeoremaSi {an} y {bn} son sucesiones convergentes y c es una constante, entonces (i) La sucesión constante {c} tiene a c como su limite (ii) Lím can = c lím an; n->+ ∞ n->+ ∞ (iii) Lím (an +- bn) = lim an +- lim bn;n->+ ∞ n->+ ∞ n->+ ∞ (iv) lím anbn= (lim an) (limb n); n->+ ∞ n->+ ∞ n->+ ∞ (v) lím an/bn = lim an/ lim bn si lim bn ≠ 0, y cada bn ≠ 0. n->+ ∞ n->+ ∞ n->+ ∞ n->+ ∞ |
8.2.5 Definición de sucesiones creciente y decrecienteUna sucesión {an} es (i) creciente si an≤ an+1 para toda n; (ii) decreciente si an ≥ an+1 para toda n.Una sucesión es monótona si es creciente o decreciente.Si an < an+1 (un caso especial de an ≤ an+1), la sucesión es estrictamente creciente; y si an > an+1, la sucesión es estrictamente decreciente. |

EJEMPLO DEL TEOREMA ANTERIOR (8.2.5)

8.2.6 Definición de cotas inferior y superior de una sucesiónEl número C es unacota inferior de la sucesión {an} si C ≤ an, para todos los números enteros positivos n; el número D es una cota superior de la sucesión {an} si an ≤ D para todos los números enteros positivos n. |

EJEMPLO ILUSTRATIVO
El número cero es una cota inferior de la sucesión {n/(2n+1)} cuyos elementos son

8.2.7 Definición de máxima cota inferior y mínima cota superior de una sucesión Si A es unacota inferior de una sucesión {an} y si A tiene la propiedad de que para cada cota inferior C de {an}, C ≤ A, entonces A es la máxima cota inferior de la sucesión. De manera semejante, si B es una cota superior de una sucesión {an} y si B tiene la propiedad de que para cada cota superior D de {an}, B ≤ D, entonces B es la mínima cota superior de la sucesión. |
Otra cota inferior de esta sucesiónes 1/3. En realidad, cualquier número que sea menor que o igual a 1/3 es una cota inferior de esta sucesión.

EJE MPLO
Para la sucesión {n/(2n+1)} del ejemplo ilustrativo del teorema 8.2.6, 1/3 es la máxima cota inferior debido a que cota inferior de la sucesión es menor que o igual a 1/3. Además ½ es una cota superior de la sucesión porque
para toda n y como cada cota superior de lasucesión es mayor que o igual a ½, este número es la mínima cota superior de sucesión.

8.2.8 Definición de una sucesión acotadaUna sucesión es acotada si y solo si tiene una cota superior y una cota inferior. |

8.2.9 Axioma de completez*Todo conjunto no vació de números reales que tiene una cota inferior tiene una máxima cota inferior. También, todo conjunto de números reales que tiene una cotasuperior tiene una mínima cota superior. |


8.2.10 TeoremaUna sucesión monótona acotada es convergente. Este teorema establece que si {an} es una sucesión monótona acotada, entonces existe un numero L tal que lím an = L, pero no indica como determinarlo. Por esta razón, el n->+ ∞teorema 8.2.10 se llama teorema de existencia. |


8.2.11...