RESUMEN TRANSFORMACION LINEAL




TRANSFORMACIONES LINEALES

Definición.   Sean  V  y  W  espacios vectoriales sobre el mismo campo k. Una transformación lineal  de V  en  W, es una función   tal que:
I) 
           ii) 

NÚCLEOO KERNEL E IMAGEN
Definición. Sea una transformación lineal, entonces el conjunto todos los vectores en V, que cumple que se denomina núcleo o kernel de T y se denota por , o .

Definición.  Sea una transformación lineal, entonces el conjunto de vectores tales que existe un y , se llama imagen de T.

Existen una gran cantidad de definiciones de imagen, como por ejemplo:
Si su imagen sedefine como
A la imagen de L se le llama también rango o recorrido de T. El rango es el subconjunto de W formado por aquellos vectores que provienen de algún vector de V. En otras palabras v está ensi podemos hallar algún vector u en V tal que .

NÚCLEO Y ESPACIO NULO
Sea A una matriz de y sea la correspondiente transformación matricial de a definida por . Entonces como se ha mencionadoanteriormente.



Entonces el núcleo de una transformación matricial es el espacio nulo de la matriz correspondiente.

RANGO Y ESAPCIO COLUMNA
Sea , asociada a una matriz el espacio imagen de latransformación es el espacio columna de la matriz  ,

Dado lo anterior, se trata de un subespacio vectorial de cuya dimensión es .
Dada una matriz la imagen, mediante la transformación lineal , de cualquiersubespacio vectorial de será un subespacio vectorial de contenido en el espacio y por lo tanto la dimensión de dicho subespacio será menos o igual que el rango (y menor o igual que la dimensióndel subespacio S original).

NULIDAD Y RANGO
Sea  una transformación lineal del kernel de T se llama nulidad de T. La dimensión del rango de T se denomina rango de T.



TEOREMA DE LA DIMENSIÓN:
Sea una transformación lineal de un espacio vectorial de dimensión n a un espacio vectorial W. Entonces:

O bien



Ejemplos:
1. Sea la transformación definida por Determine nu(T).
Solución:
Por...