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Problemario Nivel Medio Superior
Problema 1. Considere las siguientes dos ternas pitagóricas distintas (a, b, c) y (x, y, z) las cuales al combinarlas determinan otra terna pitagórica. ¿Cuál delas siguientes triadas forman una terna pitagórica? a) b) c) (ax − by, ay + bx, cz) (ax + by, ay + bx, cz) (ax − by, ay − bx, cz)

Problema 2.

ABC con AB > AC. Las bisectrices de los ángulosinternos y ← → externos en A intersectan a BC en los puntosD y E respectivamente. Demuestre que: √ √ AD2 + AE 2 AD2 + AE 2 − = 2. CD BD

Sea el

Problema 3.

Pruebe que 21092 − 1 es divisible por10932 . x a − ax , a > 0? x→a arctan x − arctan a

Problema 4.

¿Cuál es el l´ ım

1 1 dx . I = ln(x + 1) − ln(x4 − x3 + x2 − x + 1) + Problema 5. Calcule I = 5+1 x 5 20 1 − sqrt5 √ √ √ √ √ 2 x+110 − 2 5 10 + 2 5 5 x − 4x − (1 + 5) 4x − (1 − 5) 2 ln + arctan arctan √ + √ + 1 + sqrt5 20 10 10 2− 10 − 2 5 10 + 2 5 x x+1 2 c

Problema 6. 1. ad = bc

Sean 0 < a < b < c < d enteros imparestales que

2. a + d = 2k , b + c = 2m , para algunos enteros k, m. Pruebe que a = 1.

2 Problema 7. Consideremos que cuatro ciudades están situadas en los vértices de un

cuadrado de 100 km delado. Los responsable de la construcción de la red carreteras que debe unir a las ciudades, desea que está red sea la más corta posible. Uno comenta que podemos unir utilizando las carreteras quedescriben tres lados consecutivos del contorno de cuadrado eso nos dará 300 kilómetros, otro comenta mejores √ utilicemos las dos diagonales esto nos dará una longitud de 100 2 km que son aproximadamente282 km ¿Cuál es la red de carreteras más corta? La respuesta no es las diagonales del cuadrado.

Problema 8.

Cuántas ternas de números a, b, c ∈ Z existen tales que 0 < a < b < c,

que ninguno deellos sea divisible por 3 y que a2 + b2 = c2 .

Problema 9.

El perímetro de un rectángulo es 24 y la medida de una de sus diagonales

es 8, encuentre el área del rectángulo.

Problema 10....