Revoluciones e ideas del siglo xviii

 Lección 1.8.   |    Expresiones Decimales |
Dado que todo número racional es el cociente de dos enteros, efectuando una división ordinaria lo podemos representar mediante una expresión decimal.Estas representaciones o bien son finitas, como en el caso de
y
o bien se repiten en ciclos regulares indefinidamente como en el caso de
y
Cuando en una expresión decimal hay un ciclo de cifrasque se repiten indefinidamente, decimos que el decimal es periódico. Llamamos período al conjunto de cifras que forman el ciclo que se repite y para representar el número sin ambigüedades trazamosuna barra sobre este ciclo. Todo decimal finito puede considerarse como un decimal periódico donde la cifra que se repite es el cero. Usando estas notaciones tenemos;

Hemos visto que todo númeroracional se puede representar como una expresión decimal periódica. También es cierto que toda expresión decimal periódica representa un número racional. Los siguientes ejemplos nos muestran comoencontrar el racional representado por una expresión decimal.
Ejemplo 1.12. Hallemos el número racional representado por .
Tenemos

En el siguiente ejemplo, el período contiene más de un dígitoEjemplo 1.13. Hallemos el número racional representado por .
Tenemos

El caso más general se presenta en el siguiente ejemplo
Ejemplo 1.14. Hallemos el número racional representado por .
Tenemosy luego procedemos con , como en el ejemplo anterior. Es decir

y como entonces .
En el desarrollo de los ejemplos anteriores, se multiplicó el número por ciertas potencias de . Estas potenciasno se eligieron al azar, sino que se escogieron cuidadosamente, de tal forma que los números tuvieran la misma parte decimal que . De esta forma, al efectuar las restas se obtuvieron números enteros apartir de los cuales se despejo el número racional .
La discusión anterior nos muestra que el conjunto de los números racionales es idéntico con el conjunto de los decimales periódicos. En...