Romano

Historia de los números reales.
Los egipcios utilizaron por primera vez las fracciones comunes alrededor del año 1000 a. C.; alrededor del 500 a. C. el grupo de matemáticos griegos liderados por Pitágoras se dio cuenta de la necesidad de los números irracionales. Los números negativos fueron ideados por matemáticos indios cerca del 600, posiblemente reinventados en China poco después, pero no seutilizaron en Europa hasta el siglo XVII, si bien a finales del XVIII Leonard Euler descartó las soluciones negativas de las ecuaciones porque las consideraba irreales. En ese siglo, en el cálculo se utilizaba un conjunto de números reales sin una definición concisa, cosa que finalmente sucedió con la definición rigurosa hecha por George Cantor en 1871.
En realidad, el estudio riguroso de laconstrucción total de los números reales exige tener amplios antecedentes de teoría de conjuntos y lógica matemática. Fue lograda la construcción y sistematización de los números reales en el siglo XIX por dos grandes matemáticos europeos utilizando vías distintas: la teoría de conjuntos de George Cantor (encajamientos sucesivos, cardinales finitos e infinitos), por un lado, y el análisis matemáticode Richard Dedekind (vecindades, entornos y cortaduras de Dedekind). Ambos matemáticos lograron la sistematización de los números reales en la historia, no de manera espontánea, sino utilizando todos los avances previos en la materia: desde la antigua Grecia y pasando por matemáticos como Descartes, Newton, Leibniz, Euler, Lagrange, Gauss, Riemann, Cauchy y Weierstrass.
Definimos número real:Como la unión del conjunto de los números racionales con el conjunto de los números irracionales, recibe el nombre de conjunto de los números reales y se denota con el símbolo[pic], simbólicamente escribimos:
 
[pic]
Los números reales son aquellos que poseen una expresión decimal e incluyen tanto a los números racionales (como: 31, 37/22, 25,4) como a los números irracionales, que no se puedenexpresar de manera fraccionaria y tienen infinitas cifras decimales no periódicas, tales como: [pic].

Tipos de números reales

Un número real puede ser un número racional o un número irracional. Los números racionales son aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos números enteros, tal como 3/4, -21/3, 5, 0, 1/2, mientras que los irracionales son todos los demás. Los númerosracionales también pueden describirse como aquellos cuya representación decimal es eventualmente periódica, mientras que los irracionales tienen una expansión decimal periódica:

Ejemplos:

1/4 = 0,250000... Es un número racional puesto que es periódico a partir del tercer número decimal.
5/7 = 0,7142857142857142857.... Es racional y tiene un período de longitud 6 (repite 714285).[pic]Es irracional y su expansión decimal es periódica.

Otra forma de clasificar los números reales es en algebraicos y trascendentes. Un número es algebraico si existe un polinomio que lo tiene por raíz y es trascendente en caso contrario. Obviamente, todos los números racionales son algebraicos: si [pic]es un número racional, con p entero y q natural, entonces es raíz del de la ecuaciónqx=p. Sin embargo, no todos los números algebraicos son racionales.
Ejemplos
El número [pic]es algebraico puesto que es la raíz del polinomio 8x3 − 12x2 + 6x − 8
Un ejemplo de número trascendente es [pic]

Número racional:

Es el que se puede expresar como cociente de dos números enteros. El término "racional" hace referencia a una "ración" o parte de un todo; el conjunto de losnúmeros racionales se designan con "Q" por "quotient" que significa "cociente" en varios idiomas europeos. El conjunto Q de los números racionales está compuesto por los números enteros y por los fraccionarios. Los números enteros son racionales, pues se pueden expresar como cociente de ellos mismos por la unidad: a = a/1. Los números racionales no enteros se llaman fraccionarios.

Número...