Rotacion, reflexion y traslacion
Páginas: 4 (981 palabras)
Publicado: 12 de marzo de 2012
CONTENIDO
CONTENIDO 2
1. Determinar el ángulo de rotación de una cónica 3
2. Cónicas degeneradas 5
3. Graficar cónicas con ejes rotados 7
4. Reflexión de cónicas 8
Bibliografía 111. Determinar el ángulo de rotación de una cónica
Suponga que se tiene una cónica rotada un ángulo desconocido, tal que cumpla la siguiente ecuación:
A'x'2+B'x'y'+Cy'2+Dx'+Ey'+F'=0
Sireemplazamos por las siguientes ecuaciones:
x=x´cosϑ-y´sinϑ
y= x´sinϑ+ y´ cosϑ
Luego factorizamos y obtenemos como resultado los siguientes coeficientes:A'=Acosϑ2+Bsinϑcosϑ+Csinϑ2B'=2C-Asinϑcosϑ+Bcosϑ2-sinϑ2C'=Asinϑ2-Bsinϑcosϑ+Ccosϑ2D'=Dcosϑ+EsinϑE'=Ecosϑ-DsinϑF'=F
Una ecuación sin rotar carece del término B´, por lo que para conocer el ángulo de rotación con respecto a la posición perpendiculara los ejes coordenados igualamos a cero.
B'=2C-Asinϑcosϑ+Bcosϑ2+sinϑ2
Usando equivalencias trigonométricas puede encontrarse el ángulo de rotación:
B'=C-Asin2ϑ+Bcos2ϑ=0 → tan2ϑ=BA-Cϑ=12tan-1BA-C
Esta fórmula proporciona el ángulo de rotación, pero cuando A=C, donde se indetermina. Si esto sucede el ángulo ϑ será igual a 45°.
Ejemplo:
Determine la forma de la siguienteecuación de tal forma que quede paralela a los ejes coordenados.
3xy+y-2=0
Solución:
El ángulo de rotación es:
ϑ=12tan-130-0=12tan-1∞=π4rad=45°
Encontrando los valores de los coeficientes:A'=0cos45°2+3sin45°cos45°+0sin45°2 B'=20-0sin45°cos45°+3cos45°2-sin45°2 C'=0sin45°2-3sin45°cos45°+0cos45°2 D'=0cos45°+1sin45° E'=1cos45°-0sin45° D'=0cos45°+1sin45° F'=-2 → A= 32B=0C=-32D=22E=22F=-2
La ecuación resultante es:
32x'2-32y'2+22x'+22y'-2=0
2. Cónicas degeneradas
Supóngase que se tiene alguna de las siguientes ecuaciones, producto de efectuar rotación y/otraslación sobre otra ecuación que se presume es una cónica.
A'x'2+Cy'2+F'=0
A'x'2+Ey'=0
Cy'2+Dx'=0
Aunque la mayoría de los casos representan secciones cónicas, en ciertas ocasiones...
CONTENIDO 2
1. Determinar el ángulo de rotación de una cónica 3
2. Cónicas degeneradas 5
3. Graficar cónicas con ejes rotados 7
4. Reflexión de cónicas 8
Bibliografía 111. Determinar el ángulo de rotación de una cónica
Suponga que se tiene una cónica rotada un ángulo desconocido, tal que cumpla la siguiente ecuación:
A'x'2+B'x'y'+Cy'2+Dx'+Ey'+F'=0
Sireemplazamos por las siguientes ecuaciones:
x=x´cosϑ-y´sinϑ
y= x´sinϑ+ y´ cosϑ
Luego factorizamos y obtenemos como resultado los siguientes coeficientes:A'=Acosϑ2+Bsinϑcosϑ+Csinϑ2B'=2C-Asinϑcosϑ+Bcosϑ2-sinϑ2C'=Asinϑ2-Bsinϑcosϑ+Ccosϑ2D'=Dcosϑ+EsinϑE'=Ecosϑ-DsinϑF'=F
Una ecuación sin rotar carece del término B´, por lo que para conocer el ángulo de rotación con respecto a la posición perpendiculara los ejes coordenados igualamos a cero.
B'=2C-Asinϑcosϑ+Bcosϑ2+sinϑ2
Usando equivalencias trigonométricas puede encontrarse el ángulo de rotación:
B'=C-Asin2ϑ+Bcos2ϑ=0 → tan2ϑ=BA-Cϑ=12tan-1BA-C
Esta fórmula proporciona el ángulo de rotación, pero cuando A=C, donde se indetermina. Si esto sucede el ángulo ϑ será igual a 45°.
Ejemplo:
Determine la forma de la siguienteecuación de tal forma que quede paralela a los ejes coordenados.
3xy+y-2=0
Solución:
El ángulo de rotación es:
ϑ=12tan-130-0=12tan-1∞=π4rad=45°
Encontrando los valores de los coeficientes:A'=0cos45°2+3sin45°cos45°+0sin45°2 B'=20-0sin45°cos45°+3cos45°2-sin45°2 C'=0sin45°2-3sin45°cos45°+0cos45°2 D'=0cos45°+1sin45° E'=1cos45°-0sin45° D'=0cos45°+1sin45° F'=-2 → A= 32B=0C=-32D=22E=22F=-2
La ecuación resultante es:
32x'2-32y'2+22x'+22y'-2=0
2. Cónicas degeneradas
Supóngase que se tiene alguna de las siguientes ecuaciones, producto de efectuar rotación y/otraslación sobre otra ecuación que se presume es una cónica.
A'x'2+Cy'2+F'=0
A'x'2+Ey'=0
Cy'2+Dx'=0
Aunque la mayoría de los casos representan secciones cónicas, en ciertas ocasiones...
Leer documento completo
Regístrate para leer el documento completo.