CONTENIDO

CONTENIDO 2
1. Determinar el ángulo de rotación de una cónica 3
2. Cónicas degeneradas 5
3. Graficar cónicas con ejes rotados 7
4. Reflexión de cónicas 8
Bibliografía 11


1. Determinar el ángulo de rotación de una cónica

Suponga que se tiene una cónica rotada un ángulo desconocido, tal que cumpla la siguiente ecuación:

A'x'2+B'x'y'+Cy'2+Dx'+Ey'+F'=0

Si reemplazamos por las siguientes ecuaciones:

x=x´cosϑ-y´sinϑ
y= x´sinϑ+ y´ cosϑ

Luego factorizamos yobtenemos como resultado los siguientes coeficientes:

A'=Acosϑ2+Bsinϑcosϑ+Csinϑ2B'=2C-Asinϑcosϑ+Bcosϑ2-sinϑ2C'=Asinϑ2-Bsinϑcosϑ+Ccosϑ2D'=Dcosϑ+EsinϑE'=Ecosϑ-DsinϑF'=F

Una ecuación sin rotar carece del término B´, por lo que para conocer el ángulo de rotación con respecto a la posición perpendicular a los ejes coordenados igualamos a cero.

B'=2C-Asinϑcosϑ+Bcosϑ2+sinϑ2

Usando equivalencias trigonométricas puede encontrarse el ángulo de rotación:

B'=C-Asin2ϑ+Bcos2ϑ=0 → tan2ϑ=BA-Cϑ=12tan-1BA-C

Esta fórmula proporciona el ángulo de rotación, pero cuando A=C, donde se indetermina. Si esto sucede el ángulo ϑ será igual a 45°.

Ejemplo:

Determine la forma de la siguiente ecuación de tal forma que quede paralela a los ejes coordenados.

3xy+y-2=0

Solución:

El ángulo de rotación es:

ϑ=12tan-130-0=12tan-1∞=π4rad=45°

Encontrando los valores de los coeficientes:

A'=0cos45°2+3sin45°cos45°+0sin45°2 B'=20-0sin45°cos45°+3cos45°2-sin45°2C'=0sin45°2-3sin45°cos45°+0cos45°2 D'=0cos45°+1sin45° E'=1cos45°-0sin45° D'=0cos45°+1sin45° F'=-2 → A= 32B= 0C=-32D=22E=22F=-2

La ecuación resultante es:

32x'2-32y'2+22x'+22y'-2=0

2. Cónicas degeneradas

Supóngase que se tiene alguna de las siguientes ecuaciones, producto de efectuar rotación y/o traslación sobre otra ecuación que se presume es una cónica.

A'x'2+Cy'2+F'=0

A'x'2+Ey'=0

Cy'2+Dx'=0

Aunque la mayoría de los casos representan secciones cónicas, en ciertas [continua]

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(2012, 03). Rotacion, reflexion y traslacion. BuenasTareas.com. Recuperado 03, 2012, de http://www.buenastareas.com/ensayos/Rotacion-Reflexion-y-Traslacion/3655244.html

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"Rotacion, reflexion y traslacion." BuenasTareas.com. 03, 2012. consultado el 03, 2012. http://www.buenastareas.com/ensayos/Rotacion-Reflexion-y-Traslacion/3655244.html.