Secciones cónicas

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GEOMETRÍA ANALÍTICA
Secciones cónicas

En éste material abordaremos los temas desarrollados durante el segundo corte del tercer semestre de bachillerato en el área de Geometría Analítica. Los temas a desarrollar son: ELIPSE, CERCUNFERENCIA y PARÁBOLA.

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Geometría Analítica
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Elipse,circunferencia y parábola.

Gerardo Razo Jabana

ELIPSE 5
ELIPSE (DEFINICIÓN) 6
Un rápido repaso a su historia… 8
Elementos de una elipse 8
Trazo de una elipse 10
Excentricidad de una elipse 12
Constante de la elipse 14
Ecuaciones de la elipse 15
Problemas con elipses… 17
Conclusiones 20
CÍRCULO Y CIRCUNFERENCIA 21
CÍRCULO (DEFINICIÓN) 22
CIRCUNFERENCIA (DEFINICIÓN) 24
Rectasy segmentos en el círculo 26
Trazo de un círculo 29
Propiedades del radio 33
Cómo calcular el radio: 33
Longitud de la circunferencia 34
Ecuaciones de la circunferencia 34
Área del círculo delimitado por una circunferencia 37
Conclusiones 39
PARÁBOLA 40
PARÁBOLA (DEFINICIÓN) 41
Historia 42
Propiedades geométricas 43
Aplicaciones prácticas 49
Ecuaciones de la parábola 51-ELIPSE-

La matemática es la ciencia del orden y la medida, de bellas cadenas de razonamientos, todos sencillos y fáciles.
Descartes
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ELIPSE (DEFINICIÓN)

Lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es una constante positiva.
Una elipse es la curva cerrada que resulta alcortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría –con ángulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.1 Una elipse que gira alrededor de su eje menor genera un esferoide achatado, mientras que una elipse que gira alrededor de su eje principal genera un esferoide alargado.

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Un rápido repaso a su historia…La elipse, como curva geométrica, fue estudiada por Menaechmus, investigada por Euclides, y su nombre se atribuye a Apolonio de Perge. El foco y la directriz de la sección cónica de una elipse fueron estudiadas por Pappus. En 1602, Kepler creía que la órbita de Marte era ovalada, aunque más tarde descubrió que se trataba de una elipse con el Sol en un foco. De hecho, Kepler introdujo la palabra«focus» y publicó su descubrimiento en 1609. Halley, en 1705, demostró que el cometa que ahora lleva su nombre trazaba una órbita elíptica alrededor del Sol.2

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Elementos de una elipse

La elipse posee un «eje mayor», trazo AB (que equivale a ), y un «eje menor», trazo CD; cuya longitud se representa por 2b. La mitad de cada uno de esos ejesrecibe el nombre de «semieje», de tal manera que se los denomina «semieje mayor» y «semieje menor», respectivamente.
Sobre el «eje mayor» existen dos puntos  y  que se llaman «focos» y la distancia focal que se representa por 2c.
El punto  puede estar ubicado en cualquier lugar del perímetro de la «elipse».
Se denomina eje focal  a la recta que pasa por los focos y eje secundario a la mediatrizdel segmento que determinan los focos.
El centro de la elipse O es el punto intersección de los ejes.
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Trazo de una elipse

Usando el método del jardinero:

* En una mesa se fijan dos tachuelas como focos de una elipse.

* Con un hilo más largo que las distancias entre las tachuelas,atado por sus extremos a éstas se desliza la punta de un lápiz de un extremo a otro del hilo, manteniendo tenso éste.

* La punta del lápiz describe en cada momento del trazo la trayectoria de un punto de la elipse, ya que la suma de las distancias a los focos es igual siempre al largo del hilo atado debido a la constante de la elipse.

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