Secciones Conicas

Circunferencia: Se llama circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro.

Ecuación en coordenadas cartesianas 

En un sistema de coordenadas cartesianas x-y, la circunferencia con centro en el punto (a, b) y radio consta de todos los puntos (x, y) que satisfacen la ecuación
.
Cuando el centro está en el origen (0, 0), la ecuaciónanterior se simplifica al
.
La circunferencia con centro en el origen y de radio la unidad, es llamada circunferencia goniométrica, circunferencia unidad o circunferencia unitaria.
De la ecuación general de una circunferencia,

se deduce:


resultando:



Si conocemos los puntos extremos de un diámetro:
 ,
la ecuación de la circunferencia es:

Ecuación vectorial de lacircunferencia La circunferencia con centro en el origen y radio R, tiene por ecuación vectorial: 
. Donde  es el parámetro de la curva, además cabe destacar que 
.
Se puede deducir fácilmente desde la ecuación cartesiana, ya que la componente X y la componente Y, al cuadrado y sumadas deben dar por resultado el radio de la circunferencia al cuadrado. En el espacio esta misma ecuación da como resultado uncilindro, dejando el parámetro Z libre.
Ecuación en coordenadas polares 

Cuando la circunferencia tiene centro en el origen y el radio es c, se describe en coordenadas polares como 

Cuando el centro no está en el origen, sino en el punto  y el radio es , la ecuación se transforma en:

Ecuación en coordenadas paramétricas 
La circunferencia con centro en (a, b) y radio c se parametriza confunciones trigonométricas como:

y con funciones racionales como

Parábola: En matemática, la parábola es la sección cónica resultante de cortar un cono recto con un plano paralelo a su generatriz.
Ecuaciones de la parábola


Una parábola cuyo vértice está en el origen y su eje coincide con el eje de las ordenadas, tiene una ecuación de la forma y=ax2 donde el parámetro a especifica laescala de la parábola, incorrectamente descrita como la forma de la parábola, ya que como se dijo antes, todas las parábolas tienen la misma forma. Cuando el parámetro es positivo, la parábola se abre «hacia arriba» y cuando es negativo se abre «hacia abajo».
Tomando nuevamente la definición de parábola como sección de un cono recto de forma paralela a la directriz, sea V un punto en el eje ysea QV perpendicular al eje. (QV corresponde al valor x en la versión analítica y PV al valor y). Considerando la sección circular que pasa por Q y es paralela a la base del cono, obtenemos H, K paralelos a B y C.
Por el teorema de potencia de un punto:
.
Al ser PM paralela a AC, los triángulos HVP, HKA y BCA son semejantes y así:
.
Usando nuevamente los paralelismos:
.
Despejando HV y VK parasustituir en la fórmula de QV² resulta en
.
Pero el valor de  es una constante pues no depende de la posición de V, por lo que haciendo

arroja la expresión moderna y=ax².


Parábolas verticales, con ecuaciones de la forma y=ax²+bx+c.
Aplicando una sustitución de coordenadas podemos obtener ahora la ecuación de una parábola vertical para cualquier posición de su vértice.
La ecuación de unaparábola cuyo eje es vertical y su vértice es (u,v) tiene la forma (y-v)=a(x-u)2,
agrupando los términos y reordenando se obtiene una forma equivalente:
La ecuación de una parábola cuyo eje es vertical es de la forma .
Si la parábola es horizontal, se obtienen ecuaciones similares pero intercambiando y por x y viceversa. Así tendríamos:
La ecuación de una parábola cuyo eje es horizontal es de laforma .
Ecuación involucrando la distancia focal 


Ecuación de una parábola vertical.
Pueden haber muchas parábolas que tengan un mismo vértice (variando el parámetro a) en la primera ecuación. Sin embargo, dados dos puntos fijos, existe sólo una parábola que los tiene por vértice y foco ya que la directriz queda automáticamente fija como la perpendicular a la línea que une el foco con...