Secciones C Nicas

UNIVERSIDAD NACIONAL TECNOLÓGICA
DE LIMA SUR
DIBUJO DE INGENIERÍA

SECCIONES CÓNICAS

Ing. Antonio Arqque Pantigozo

1

HISTORIA
Las curvas cónicas, fueron
estudiadas por matemáticos
de la escuela Griega hace
mucho tiempo. Se dice que
Menaechmus fue el que
descubrió las secciones cónicas
y que fue el primero en enseñar
que las parábolas, hipérbolas y
elipses eran obtenidas al cortar
un cono enun plano no paralelo
a su base.

Menaechmus

Menaechmus
realizó
sus
descubrimientos de las secciones
cónicas cuando él trataba de resolver
un problema de duplicar un cubo.
Apollonius de Perga fue otro
matemático
que
estudio
las
secciones cónicas. Poco se sabe de su
vida pero su trabajo tuvo una gran
influencia en el estudio de las
matemáticas.
Apolonio
escribió
libros que introdujeron términos
quehasta hoy son conocidos como
parábola, hipérbola y elipse.
Apolonio

Apolonio nació en donde en aquel entonces se llamaba Perga.
Los libros que escribió este griego, son algunas de las pocas fuentes de
información sobre la vida de éste. Se supo, gracias a sus libros, que él tenia un
hijo, que tenía el mismo nombre.
Apolonio escribió cónicas en ocho libros, de los cuales sólo sobrevivieron losprimeros cuatro en griego. Sin embargo en árabe sobrevivieron los primeros 7
libros de los ocho.

Apolonio describió las cónicas como las curvas formadas
cuando un plano intercepta la superficie de un cono.

SECCIONES CONICAS
DEFINICION
Son secciones producidas por planos que intersecan a un cono circular
recto.
Estas son:
(a) triangulo isósceles , (b) circunferencia, ( c) elipse, (d) parábola y(e)
hipérbola.

ELIPSE
DEFINICION
Es la curva generada por un punto en movimiento
(lugar geométrico), cuya suma de distancias a dos
puntos fijos llamados focos (F, F’), es una constante
igual al eje mayor .

0<β<α

α

Área

= π.a.b

Long.
Long.

=π (a+b)
=π

I

α

I + I

β

I=

= eje mayor = 2a
= eje menor = 2b
=distancia focal = 2c

=2a

ENCONTRAR EL EJE MENOR DE UNA ELIPSE
a- dados:(2a),diámetro

, y O ( pto. medio de

b- Trazar una ┴ por O con centro en C o D y r= ½ de
tomamos, centro en C) . Unir C y 1 cortando
en 2.
c-

=

=

).

, cortar a la ┴ en 1 (Nota: aquí

, tenemos el eje menor .

1

(a)

AB eje mayor

(b)

(c)

ENCONTRAR EL CENTRO DE UNA ELIPSE
(a) y (b) dada la elipse : trazar dos rectas //s cualesquiera :

y

.

Hallar el pto. Medio de = 5 y de
= 6. (c) unir 5 y 6, yprolongarlo hasta cortar a la elipse en
7 y 8. (d) hallar pto. Medio de
, es decir el centro de la elipse (O).

(a) y (b)

(b)

(c)

ENCONTRAR LOS EJES DE UNA ELIPSE
(a) y (b) dada la elipse y su centro O: con centro en O y r=arbitrario trazar una circunferencia que corte a
la elipse en 1,2,3 y 4. (c) trazar una // a
por O =
=Eje mayor. Trazar una // a por O = = eje
menor.

HALLAR LOS FOCOS DE LAELIPSE
(a) dados los dos ejes AB y CD (b) con centro en C y D y r =
AB = eje mayor
CD = eje menor

=

,cortar a

en 1 y 2 (focos).

CONSTRUCCION DE ELIPSES ( Solo se graficará un cuadrante).
METODO DE LA DEFINICION:
(a) y (b) dados los ejes
y
,O=
; . con centro en C o D y r = = , obtenemos los focos 1 y
2. Se escoge cinco ptos. cualesquiera entre 1 y 0 = 3,4,5,6,7. Trabajando con 5 : con centro en1 y r=
A5, trazar un arco. (c) Con centro en 2 y r = B5 se interseca el arco anterior en 10 (de igual forma
obtenemos los ptos. 8,9,11 y 12 para 3,4,6,7)(d).

METODO DEL HILO O JARDINERO
(a) dados los ejes y ,(b) hallar los focos 1 y 2; con una cuerda de longitud =
anudada a los puntos fijos 1 y 2, trazar la elipse manteniéndola siempre tensa con el
elemento que se utilice para marcar o pintar (por ejemplo un lápiz). (c) respuesta.

(c)

METODO DE LAS CIRCUNFERENCIAS CONCENTRICAS
(a) Dados los ejes AB y CD (b) Con centro en O y r= OC=OD=O menor. Con centro en O mayor
.Trabajando con el I cuadrante: trazar rectas a partir de O que corten a ambas s en 1 y 1´, 2 y 2´,
respectivamente. (c) Para 2, trazar una // a AB por este pto. Para 2´, trazar una // a CD por este pto.
A, la...