Serie de Fourier

La mayoría de las funciones
matemáticas que describen
fenómenos físicos REALES son
funciones complejas que no
p
pueden
ser
aproximadas
p
adecuadamente
por
una
función seno o coseno.
La Teoría de Fourier permite
analizar cualquier función
continua a partir de una serie
armónica de funciones.
Esto permite la aproximación
p
p
de la función real con una
precisión determinada porel
número de funciones armónicas
que se utilicen.

http://jlnlabs.online.fr/plasma/gmrtst/index.htm

La teoría de Fourier se basa en el
Principio de superposición.
Este principio es aplicable al caso de
ondas  i t f
d
interferencia.
i
Una serie armónica es aquella cuyos
componentes son funciones periódicas
con frecuencias: ω, 2ω, 3ω, etc…
La mayoría de los sistemas físicos sepueden
aproximar
por
series
armónicas: Oscilaciones, Voz, Señales
eléct ic s etc
eléctricas, etc.
La teoría de Fourier se aplica para
cualquier función f(x) que cumpla con:
f(x) es periódica
f(x) es continua por secciones
f(x) está completamente definida
en un periodo (T).

http://fourier.eng.hmc.edu/e101/lectures/handout2
/node1.html

En el caso de una serie infinita se cumpleque:

a0 
f ( x)    an cosn x    bn sin n x 
2 n 1
n 1

Los Coeficientes de Fourier, an y bn, se calculan con las
siguientes ecuaciones, aplicables a un semi-periodo:

1
 n x 
dx donde l  T
an   f ( x) cos

T
l
 l 
2
1
 n x 
bn   f ( x) sin 
 dx
T
l
 l 
El primer coeficiente de Fourier es:
1
a0   f ( x ) d
dx
T
l
Cuando hay unadiscontinuidad en la
función, se toma el valor medio de la
discontinuidad.

http://www.absoluteastronomy.com/topics/Step_function

Una función par es aquella donde:
p
q
f ( x)  f ( x)
En este caso, por razones de simetría,
los
l coeficientes d F i son:
fi i
de Fourier
2 l
 n x 
an   f ( x) cos
 dx
0
l
 l 
bn  0 n
Por l t t
P
lo tanto, sólo aparecen l
ól
lostérminos en coseno.
Una función impar es aquella donde:
p
q

http://library.thinkquest.org/2647/algebra/ftevenodd.htm

f ( x)   f ( x)

Los coeficientes de Fourier son:
2 l
 n x 
bn   f ( x) sin 
 dx
l 0
 l 
an  0 n
Por lo tanto, sólo aparecen los términos en seno.

Los coeficientes de Fourier, an
y
bn,
representan
las
amplitudes de los armónicos
que componen lafunción
original.
El cuadrado de la amplitud
de cada armónico está
relacionado con la energía
que aporta a la función total:

E  A2
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0e/Sawtooth_
Fourier_Analysis.JPG

La amplitud del n-ésimo armónico
disminuye rápidamente conforme
n∞.

http://technoflash.chez-alice.fr/HTMLF/PIM/FSPE1.GIF

18. Haga la expansión en serie deFourier de la siguiente función:
3 0  mT  x  5  mT
mZ
f ( x)  
0 5  mT  x  10  mT

Calcule explícitamente los
C l le e lí it e te l s primeros
i e s
cinco términos de la serie y muestre
la regularidad de la misma.
19. Haga la expansión en serie de
Fourier de la siguiente función:
f ( x)  5 x  2  mT  x  2  mT m  Z

Calcule explícitamente los primeros
cinco términos dela serie y muestre
la regularidad de la misma.

En espectroscopía los conceptos de señal y espectro están
íntimamente relacionados, pero NO son iguales.
La señal es lo que se
GENERA
durante
un
fenómeno
físico.
físico
Por
ejemplo: Una onda de sonido
genera cambios en la presión
que se detectan en un
micrófono.
El
espectro
es
la
REPRESENTACIÓN de las
variaciones de la señalen
función de algún parámetro
físico: frecuencia, vector de
sc
ec e c a, ec
e
onda, etc.

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/82/Sawtooth-td_and_fd.png

Como se vio anteriormente, una onda puede descomponerse en
una superposición de componentes armónicos con diferentes
amplitudes (Series de Fourier)
Fourier).
Una nota producida por un violín genera variaciones en la...