Serie de Fourier

 Introducción
  Si no tienes unas nociones previas, puede ser complicado comprender el concepto de "representación en frecuencia de una señal". Básicamente la Transformada de Fourier se encarga de transformar una señal del dominio del tiempo, al dominio de la frecuencia, de donde se puede realizar su antitransformada y volver al dominio temporal. Estudiaremos a lo largo de este trabajo la Seriede Fourier, Ejercicios referentes al seno y coseno , las Transformadas de Fourier, propiedades e interpretación.
SERIE DE FOURIER
Sea una función f(t) una función periódica de periodo T, la cual se puede representar por la serie trigonometrica

donde w 0=2p /T.
Una serie como la representada se llama serie trigonometrica de Fourier. Esta serie también se puede representar así:

Ejemplo 1:Deducir la forma de y expresar Cn y q n en términos de an t bn.
Se puede expresar así

se utiliza la entidad trigonométrica

donde


por consiguiente,
ó
También si se hace

Se Obtiene

Es obvio que la representación de Fourier de una función periódica, representa la función como la suma de componentes sinusoides que tienen diferentes frecuencias. La componente senosiudad defrecuencia se denomina la enésima armónica de la función periódica. La primera armónica comúnmente se conoce como la componente fundamental porque tiene el mismo período de la función y se conoce como la frecuencia angular fundamental. Los coeficientes Cn y los ángulos q n se conocen como amplitudes armónicas y ángulos de fase, respectivamente.
Funciones Periódicas
Una función periódica se puede definircomo una función para la cual
(1.1)
para todos los valores de t. La constante mínima T que sastiface la relación , se llama el período de la función. Mediante repetición de , se obtiene:

En la siguiente función se muestra un ejemplo de una función periódica

Ejemplo 1: Encontrar el periodo de la función
Si la función f(t) es periódica con un periodo T, entonces, de se tiene

puesto quecos(q + 2 p m)=cos q para cualquier entero m se tiene que

donde m y n son enteros, Por consiguiente T= 6p m; cuando m = 4 y n = 3, se obtiene el mínimo valor de T. (esto se puede ver mediante el procedimiento de ensayo y error). De donde, T = 24p
en general, si la función

es periódica con período T, entonces es posible encontrar dos enteros m y n tales que
w 1T = 2nm
w 2T = 2mn elcociente es

es decir, la relación w 1 / w 2 debe ser un numero racional.
Ejemplo 2: Decir si la función es una función periódica.
Aquí y . Puesto que

no es un número racional, es imposible encontrar un valor T que satisfaga por consiguiente f(t) no es una función periódica.
Ejemplo 3: Encontrar el periodo de la función
Si aplicamos la identidad trigonométrica se tiene

Puesto que unaconstante y una función periódica de periodo T para cualquier valor de T, el período de cos 2t es p , se concluye que el periodo de f(t) es p .
Demostrar que si f(t + T) = f(t), entonces.

Relaciones de Ortogonalidad
Existen muchos tipos de series de Fourier. Las mas sencillas son las Series de Fourier Trigonométricas. Un ejemplo es la serie de Fourier del seno

Se vera que las series de Fouriertienen interpretaciones físicas importantes en las aplicaciones. Sin embargo, las series de Fourier están basadas en un tipo distinto de teoría a las familiares series de potencias.
De manera equivalente, una función diferenciable f(x) es una función tal que en cualquier intervalo finito se puede dividir en un número de partes, cada una de las cuales es continua y tiene derivada continua. Además,las únicas discontinuidades de F8x) y f’(x) son discontinuidades de salto.
Ejemplo Funciones Ortogonales
Las dos funciones f(x) = x y g(x) = x2 son ortogonales en el intervalo [-1,1] puesto que

Conjunto Ortogonal de Funciones
Un conjunto de funciones {f 1(x), f 2(x),…} es un conjunto ortogonal de funciones en el intervalo [a,b] si cualesquiera dos funciones son ortogonales entre si.
(n ¹...