Serie De Fourier

Series de Fourier

Unidad 5 SERIES DE FOURIER
Objetivo de la unidad: El y la estudiante aprenderá a calcular series de Fourier (forma trigonométrica) de funciones periódicas de periodo arbitrario, serie de Fourier cosenoidal, senoidal y desarrollos de medio intervalo. Las series de Fourier son una herramienta muy poderosa en relación con varios problemas que contienen ecuaciones diferencialesordinarias y parciales. Se utilizan en el tratamiento analítico de conducción de calor, teoría de comunicaciones, sistemas lineales y en casi toda la física moderna. Joseph Fourier (17681830, físico francés). El único requisito para comprender el análisis de Fourier es poseer los conocimientos básicos de cálculo diferencial e integral. Prestando atención, recordando y generalizando el y laestudiante deberá identificar la función dada para encontrar los coeficientes de Fourier. A través de manipulación e interpretación de símbolos matemáticos y utilizando conocimientos previos a este curso, sobre todo las técnicas de integración podrá desarrollar la serie de Fourier Funciones periódicas Aparecen frecuentemente en los problemas de ingeniería. Su representación en términos de funcionesperiódicas sencillas, tales como seno y coseno, tiene gran importancia en la práctica, lo cual conduce a las series de Fourier. 1 Definición: Sea f ( t ) una función, se dice que es periódica si satisface:

f(t)  f(t  T)  t

en el dominio de la función

Donde: T  Periodo de la función NOTA: Que sea una función periódica significa que es una función repetitiva. Ejemplo: Una función puede serperiódica en distancia o en tiempo.
f(x)


x

1

Matemáticas Avanzadas para Ingeniería, Kreyszig, Vol. II 1

AMMG

Series de Fourier

  Longitud de onda

 : Distancia entre dos puntos o segmentos consecutivos
O bien

f (t)

t

T

Función periódica T  2 radianes Periodo ( T ) = Tiempo que tarda la onda en recorrer una distancia

f (t)

f (t1  T)

f (t1 )  f (t1)  T

t

f (t  T)  f (t)

t1

t1  T

De forma analítica se puede determinar el periodo de la función, para ello se utiliza la definición de función periódica y la identidad trigonométrica correspondiente. Ejemplo 1: Determine el período de la función:

f(t)  sen 2t
De la definición de función periódica

f ( t )  f ( t  T)
AMMG 2

Series de Fourier

sen 2 t  sen 2(t T) sen 2t  sen (2t  2T) ….. A
Se tiene la Identidad

sen  sen(  T) si T  2m

sen  sen(  2m)

Donde m = Número de veces que se repite la función Si   2t sen2t = sen(2t + 2m) ….. B Igualando A y B sen(2t + 2T) = sen(2t + 2m) La igualdad se cumple sólo si los argumentos de las funciones trigonométricas son iguales, por lo tanto: Igualando argumentos 2t + 2T = 2t + 2mDespejando T T = m el menor número de veces que se repite la función es para m = 1 T=

Ejemplo 2: Calcular el periodo de f(t) = cos t
Es función periódica si satisface:

f ( t )  f(t  T) cos t  cos (t  T) … A
Utilizando la identidad trigonométrica

cos  cos (   2m) Si   t  cos t  cos (t  2m) ….. B
Igualando A y B

cos (t  T)  cos (t  2m)
AMMG 3

Series de Fourier

t T  t  2m T  2m para m =1 T  2

 2t  Ejemplo 3: Calcular el período de f(t)  sen   donde k es una constante.  k  Definición:

f(t)  f( t  T)
 2t   2 (t  T )  sen   sen  k  k   
 2t 2T   2t  sen    sen   k   k   k  . . . A

Identidad:

sen  sen (   2m )
Si  
2t k

 2t   2  sen  2m    sen  k   k 

. . .B

Igualando A y B  2t 2T   2   2m  sen    = sen k   k   k Igualando argumentos
2 2T 2    2m k k k 2T  2m k
4

despejando T

AMMG

Series de Fourier

T

2mk  mk 2

T k

t t Ejemplo 4: Calcular el período de f(t)  cos    cos    3  4
Definición:

f(t)  f( t  T)
( t  T )  ( t  T ) t t cos    cos    cos ...