SERIES DE CÁLCULO INTEGRAL

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CUAUTLA

CÁLCULO INTEGRAL

UNIDAD IV.- SERIES

PROFESOR: MORALES MUÑÍZ NOEL


ENTREGA: MIÉRCOLES 28 DE MAYO DE 2014







4.1.-SERIES:
Esl a suma de términos finitos o infinitos, tiene una gran importancia. Por ejemplo: {1, 3, 6, 8} se puede considerar como unaserie finita, mientras que una serie de la forma {2, 4, 6 8…} es un ejemplo de serie infinita.
4.1.1.-FINITA
Una diferencia finita es una expresión matemática de la forma f(x + b) − f(x +a). Si una diferencia finita se divide por b − a se obtiene una expresión similar al cociente diferencial, que difiere en que se emplean cantidades finitas en lugar de infinitesimales. La aproximación de lasderivadas por diferencias finitas desempeña un papel central en los métodos de diferencias finitas del análisis numérico para la resolución de ecuacuines diferenciales.
La diferencia anterior puede considerarse un operador diferencial que hace corresponder la función f con Δf. El teorema de Taylor puede expresarse por la fórmula:


Δ=hD + 1/2 h2 D2 + 1/3h3 D3 + ... = ehD - 1.

Donde D denota eloperador derivada, que hace corresponder f con su derivada f ´, es decir: D = u´,D2 = u´´, D3 = u´´´,.....
Formalmente, invirtiendo la exponencial.
hD = log (1+ Δ) = Δ -1/2Δ2 + 1/3Δ3 +....
4.1.2.- INFINITA
La expresión 1 − 2 + 3 − 4 + · · · es una serie infinita cuyos términos son los números enteros positivos, que van alternando sus signos. Utilizando notación matemática para sumatorias, lasuma de los primeros m términos de la serie se expresa como:

4.2.- SERIE NUMÉRICA Y CONVERGENCIA PRUEBA DE LA RAZÓN (CRITERIO DE D´ALEMBERT) Y PRUEBA DE LA RAÍZ (CRITERIO DE CAUCHY)

Cada una tiene valores que se aplican cerca de 1. Para que una sucesión converja a 1 , primero debe ocurrir que los valores e la sucesión se acerquen a 1. Pero eben de hacer algo mas que estar cerca; debenpermanecer cerca, para toda n mas allá e cierto valor. Esto descarta la sucesión {cn}. Ademas cerca significa arbitrariamente cerca, es decir, entro de cualquier distancia no nuladaa con respecto a 1, lo cual incluye a {dn}. Aunque la sucesión {dn} no comverge; decimos que diverge.
Definicion: La sucesion {an} se ice que converge a L y escribimos:
Lim n->∞ , an=L
Si para cada numero positivo ɛexiste un numero positivo correspondiente a N tal que
n>= N -> |an-L|< ɛ
Si no hay un numero finito L al que converja una sucesion, se ice que este diverge, o que es divergente.
**Criterio de D'Alembert (Criterio de la Razón)

Sea una serie Ʃk=1(ak), tal que ak > 0 ( serie de términos positivos).
Si existe
si L < 1, la serie converge.
si L > 1, entonces la serie diverge.
si L = 1, noes posible decir algo sobre el comportamiento de la serie.
En este caso, es necesario probar otro criterio, como el criterio de Raabe.
**Criterio de Cauchy (Raíz Enécima)



Entonces, si:
L < 1, la serie es convergente.
L > 1 entonces la serie es divergente.
L=1, no podemos concluir nada a priori y tenemos que recurrir al criterio de Raabe, o de comparación, para ver si podemosllegar a alguna conclusión.

4.3.- SERIE DE POTENCIAS

Se han utilizan en el estudio de las funciones de una variable real para poder trabajar con representaciones alternativas y buenas aproximaciones de las funciones más habituales y también pueden utilizarse para obtener nuevas funciones, como las funciones de Bessel.
Cuando una función f deja de ser derivable en un punto z pero lo es en todoslos puntos que lo rodean,sedicequez00 es una singularidad aislada de f . En ese caso, f no puede ser representada por una serie de potencias de (z - z) porque no es derivable en dicho punto. Sin embargo,P. Laurent (1813—1854) descubrió en 1842 que si una función es analítica en un anillo centrado en una singularidad aislada z00 , entonces sí puede representarse por medio de dos series, una de...