Series de fourier

Aplicaciones de la Transformada de Fourier

Yeison Gómez González

Camilo Andrés Martínez





PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN

Establecer la forma en que intervienen las matemáticas especiales en la vida y sus aplicaciones, más específicamente el método de Transformada de Fourier en casos de la vida real como lo sería el calcular la temperatura de la tierra.



OBJETIVO GENERALMostrar el proceso de desarrollo de la transformada de Fourier para luego aplicarla a un caso común como lo es calcular la temperatura de la tierra.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Estudiar los modelos matemáticos de las transformadas de Fourier en un modelo de ingeniería.
Investigar las aplicaciones de uso real de la transformada de Fourier.
Interpretar el dominio de frecuencia y dominio de tiempo.JUSTIFICACIÓN

La transformada de Fourier es un amplio modelo matemático que se emplea en el procesamiento de señales de dominio del tiempo o en el espacio al dominio de la frecuencia. La transformada de Fourier en la ingeniería se utiliza para pasar al dominio de la frecuencia una señal para así obtener información que no es evidente en el dominio temporal. Por ejemplo, es más fácil saber sobre quéancho de banda se concentra la energía de una señal analizándola en el dominio de la frecuencia.
También sirve para resolver ecuaciones diferenciales con mayor facilidad y, por consiguiente, se usa para el diseño de controladores clásicos de sistemas realimentados si conocemos la densidad espectral de un sistema y la entrada podemos conocer la densidad espectral de la salida. Esto es muy útilpara el diseño de filtros de radio transistores.
La transformada de Fourier también se utiliza en el ámbito del tratamiento digital de imágenes, como por ejemplo para mejorar o definir más ciertas zonas de una imagen fotográfica o tomada con una computadora.

MARCO TEORICO

TRANSFORMADAS DE FOURIER

La idea principal de la transformada de Fourier es transformar una señal del dominio deltiempo o en el espacio al dominio de la frecuencia, también podemos invertir este proceso aplicando la llamada transformada inversa de Fourier la cual nos dejará otra vez en el dominio del tiempo.
En sus inicios las series de Fourier surgieron como un método para la explicación de fenómenos de la física, en una época en donde no había conocimiento de la electrónica ni las telecomunicaciones, pero sonmuy útiles igualmente en nuestros tiempos aplicados en las ciencias de la computación y comunicación. Esto es posible ya que los fenómenos eléctricos son igualmente fenómenos físicos y sus comportamientos explicados a través de funciones periódicas o movimientos periódicos ondulatorios, en donde una transformada de Fourier permite obtener ondas discontinuas.
Antiguamente el proceso para hallar latransformada de Fourier era un poco dispendioso, debido a los cálculos que se debían hacer manualmente, actualmente con
La ayuda de la tecnología y las computadoras, se han desarrollado diferentes algoritmos para simplificar y hacer más fácil este proceso, además de la transformada de Fourier discreta (DFT) y la transformada de Fourier rápida (FFT).



Desarrollo de la transformada

En laSección anterior se estudió cómo una señal periódica puede representarse como una combinación lineal de exponenciales complejas armónicamente relacionadas. Estos resultados pueden extenderse para desarrollar una representación de señales aperiódicas como combinación lineal de exponenciales complejas. La introducción de esta presentación es una de las más importantes contribuciones de Fourier, y eldesarrollo que se presenta aquí es muy similar al que él desarrolló en su trabajo original.
Los coeficientes complejos de la serie de Fourier de la onda periódica cuadrada

Donde es el período de la señal, y el tiempo durante el cual la señal toma el valor A. se grafican los valores de estos coeficientes, para un valor fijo de y distintos valores del período , en función del número de...