Series De Fourier

| REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA“ANTONIO JOSÉ DE SUCRE”VICE-RECTORADO DE PUERTO ORDAZDepartamento de Ingeniería Electrónica |
Especialización en
Telecomunicaciones Digitales

CURSO DE NIVELACIÓN
TEMA I

SERIES DE FOURIER

Estrategia Metodológica: Conferencia dictada por el facilitador
Procedimiento: Exposición de cada tópico delsumario.

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SUMARIO
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Señales periódicas.
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Funciones pares e impares.
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Análisis de simetría.
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Series de Fourier.-------------------------------------------------
Condiciones de Dirichlet.
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Serie trigonométrica de Fourier.
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Serie exponencial de Fourier.
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Espectro de frecuencia discreta
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Espectros de una cara.-------------------------------------------------
Espectros de doble cara.
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Teorema de Parseval.
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Error cuadrático medio.

Introducción.

En este tema se estudia una forma diferente de especificar una señal, la llamada descripción en el dominio de la frecuencia.
Cuando una señal se describe como una función del tiempo,tal como cos(wot +), ésta es una descripción en el dominio del tiempo de esa señal. Como veremos, cualquier señal se puede expresar como una suma de senoides de diferentes frecuencias. Por lo tanto, cada una de estas señales tiene un espectro de frecuencia representado por amplitudes y fases de varias componentes de frecuencia y se especifica completamente por su espectro.
De lo anterior, sedesprende que una señal se puede describir como una función del tiempo (descripción en el dominio del tiempo) o mediante su espectro de frecuencia (descripción en el dominio de la frecuencia).

2.1.- Análisis de señales periódicas.

2.1.1.- Señales periódicas.
Una función periódica se puede definir como una función para la cual

f ( t ) = f ( t + T ) (Ecuación 1)

para todo valor de t.La constante mínima T que satisface la ecuación #1 se llama período de la función.
En forma general la ecuación #1 se puede escribir como

f ( t ) = f ( t + n T ) (Ecuación 2)

donde n = 0, 1, 2, 3...
En la figura #1 se muestra una función periódica de período “T”.

Ejemplo de señales periódicas lo constituyen las señales sinusoidales.
Considere que una señal esta dada por:

Sir(t) es periódica con período T, es posible encontrar dos enteros m y n tal que:

(Ecuación 3)

(Ecuación 4)

El cociente entre las ecuaciones # 3 y # 4 es:



Figura #1
Representación de una función periódica

Entonces para que la función r(t) sea periódica de período T, la relación
w1 / w2 = m / n debe ser un número racional.

Ejemplo: Encontrar el período de lafunción f(t) = cos(t/3) + cos(t/4).

Solución.
Si f(t) es periódica con período T entonces se debe cumplir que:

Pero dado la periodicidad del coseno se tiene que

si m es entero.
Si se comparan miembro a miembro con la ecuación de f(t), tenemos


con m y n enteros.
Despejando T en ambas ecuaciones e igualando se tiene:

o

entonces

Donde se concluye que m = 4 y n = 3.
De losvalores de m y n se puede calcular T obteniéndose T = 24. el cual es el mínimo valor de T para la función periódica.
2.1.2.- Funciones pares e impares.

La simetría que una forma de onda tiene respecto al eje “y” o al origen, se puede determinar en forma analítica cambiando en la ecuación de la forma de onda la variable “ t ” por “ - t ” y en dependencia del resultado podemos determinar si la...