Series de Fourier

Series trigonométricas y series de Fourier.
 Áreas de aplicación incluyen análisis vibratorio, acústica, óptica, procesamiento de imágenes y señales, y compresión de datos. En ingeniería, para el caso de los sistemas de telecomunicaciones, y a través del uso de los componentes espectrales de frecuencia de una señal dada, se puede optimizar el diseño de un sistema para la señal portadoradel mismo. Refiérase al uso de un analizador de espectros.
Toda serie funcional que se pueda expresar en la forma

donde T ∈ R+, a0, a1, a2,...,b1, b2,... son constantes reales, se denomina serie trigonométrica y los
an, bn son los coeficientes de la misma.
Dado un número real x0, observemos que si en la serie se sustituye la variable x por cualquier número de la forma x0 +kT con k ∈ Z, laserie numérica obtenida es la misma cualquiera que sea k, puesto que:
Por esta razón, se puede afirmar que si la serie trigonométrica converge en el punto x0, entonces también converge en todo punto de la forma x0 +kT, y que su suma es la misma en cualquiera de dichos puntos.
En consecuencia, si la serie trigonométrica converge, su suma será una función periódica, de período T.
Si  es una función(o señal) periódica y su período es , la serie de Fourier asociada a  es:

Donde ,  y  son los coeficientes de Fourier que toman los valores:

Por la identidad de Euler, las fórmulas de arriba pueden expresarse también en su forma compleja:

Los coeficientes ahora serían:

Otra forma de definir la serie de Fourier es:

donde  y 
siendo:

a esta forma de la serie de Fourier se leconoce como la serie trigonométrica de Fourier.
La serie trigonométrica que tiene estos coeficientes se denomina serie de Fourier de f en [0, T].Cuando la función f es además periódica de período T, la serie citada se denomina simplemente serie de Fourier de f.
Para construir la serie de Fourier de una función sólo hay que calcular sus coeficientes, basta con que f sea integrable. Pero hasta ahora nose ha expuesto ningún argumento que permita decidir nada acerca de la convergencia de esta serie, ni tampoco, si la suma es o no la función f. Es decir, una cosa es obtener la serie de Fourier de una función, y otra muy distinta determinar su convergencia y eventualmente su suma. Dejaremos para más tarde estas últimas cuestiones. Obsérvese que, en el caso de ser f una función T-periódica, losintegrandos serían funciones de período T, es posible reemplazar el intervalo de integración por cualquier otro intervalo de longitud T (como por ejemplo, el intervalo [−T /2,T/2]), lo que en ciertas circunstancias puede facilitar el cálculo de los coeficientes de Fourier.










Señal u onda electromagnética
 Las radiaciones electromagnéticas son las generadas por partículas eléctricas ymagnéticas moviéndose a la vez (oscilando). Cada partícula genera lo que se llama un campo, por eso también se dice que es una mezcla de un campo eléctrico con un campo magnético. 

   Estas radiaciones generan unas ondas que se pueden propagar (viajar) por el aire e incluso por el vacío. Imaginemos que movemos de forma oscilatoria (de arriba a bajo) una partícula cargada eléctricamente (omagnéticamente) como la de la figura:



   Como vemos se crea una perturbación a su alrededor, que es lo que llamamos una onda. Esta onda depende de la velocidad con la que movamos la partícula (y fuerza), y de la amplitud o distancia entre el inicio y el final del recorrido.
Cambiando estos valores podemos cambiar el tamaño de la onda. La onda generada tendrá la misma forma pero más grande y/ocon mas ondulaciones por segundo.

   Si la partícula tiene un componente eléctrico, pero también uno magnético ya tenemos generada una radiación electromagnética, con su onda electromagnética. Vamos analizar la onda generada. Para medir una onda tenemos 3 datos muy importantes como podemos ver en la siguiente figura:


   Longitud de Onda: Distancia entre dos crestas.

   Amplitud : Es...