Series de fourier
Páginas: 24 (5825 palabras)
Publicado: 25 de julio de 2010
Ampliación de Matemáticas (Ingeniería de Telecomunicación) – Curso 2009/10
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Curso 2o. Ingeniero de Telecomunicación. Ampliación de Matemáticas. Lección 4.
ANÁLISIS DE FOURIER. Curso 2009-10
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La serie de Fourier de una función
El planteamiento central de esta lección es el siguiente. Dada una función periódica f (t), por ejemplo de período 2π, queremos escribirla como unacombinación en la que intervengan únicamente senos y cosenos, que son las funciones periódicas de período 2π más simples y conocidas: f (t) ¿=?
∞ X n=0
[an cos(nt) + bn sen (nt)] .
Una serie de este tipo recibe el nombre de serie trigonométrica o serie de Fourier. El problema de la representación de una función mediante una serie trigonométrica surge, como veremos en la lección 6, de laresolución de ecuaciones en derivadas parciales. En torno a 1750, J. d’Alembert, D. Bernoulli (1700—1782) y L. Euler estudiaron la ecuación de ondas que gobierna el problema de la cuerda vibrante, un problema planteado y estudiado por B. Taylor (1685—1731) que había obtenido soluciones en forma de funciones sinusoidales. D’Alembert dio una solución muy general y Euler probó que si en el instante inicial laforma de la cuerda es una combinación finita de senos, entonces ocurrirá lo mismo en cualquier instante posterior, dando mucho más tarde, en 1777, las fórmulas que permiten calcular los coeficientes de la combinación. En 1753, D. Bernoulli utilizó esta representación para resolver el problema de la cuerda vibrante para una posición inicial cualquiera, pero su solución suscitó mucha controversia.Fue J.B. Fourier (1768—1830) quien, al analizar en una famosa memoria presentada en 1807 la ecuación que gobierna la transmisión del calor en una barra, retomó las ideas de Euler y Bernoulli y obtuvo resultados muy ajustados a los experimentos, colocando el estudio de las series trigonométricas –que hoy llevan su nombre– en el centro del escenario matemático del S. XIX. La teoría de las series deFourier tuvo a lo largo del siglo pasado profundas implicaciones para el análisis matemático y es hoy en día una herramienta fundamental de la ingeniería de telecomunicación. En la teoría de la señal y la comunicación, cuando t es la variable temporal se dice que f (t) es una señal periódica en tiempo continuo y cuando esta representación en serie de funciones trigonométricas sea correcta, decimosque hemos descompuesto la señal en armónicos o modos de vibración.
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Lección 4. Análisis de Fourier
En esta lección estudiaremos bajo qué condiciones puede hacerse esta representación, cómo calcular los coeficientes, los ejemplos más importantes, algunas propiedades y la forma compleja de las series de Fourier. Finalmente, para funciones –señales– no periódicas, se introduce latransformada de Fourier que, aunque es muy similar y comparte muchas propiedades con la transformada de Laplace, se emplea en contextos muy diferentes. Funciones periódicas. Recordemos que una función f : R → R es periódica de período T 6= 0 (o T -periódica) cuando existe T > 0 tal que f(t + T ) = f(t) para cualquier t ∈R.
En ese caso se tiene automáticamente que f(t + nT ) = f (t) para cualesquiera t ∈ Ry n ∈ Z. Esto significa que sus valores se repiten a intervalos regulares y que su gráfica puede dividirse en segmentos verticales de anchura T que son idénticos. Es obvio que si T es un período de f(t), entonces también lo son −T, ±2T, ±3T, . . . Salvo las funciones constantes, todas las funciones periódicas de interés en las aplicaciones, en particular las funciones continuas no constantes,tienen lo que se conoce como un período fundamental o mínimo; o sea, un período T > 0 tal que f (t) no es τ -periódica para ningún valor 0 < τ < T . Los ejemplos típicos de funciones periódicas son las funciones trigonométricas sen (t) y cos(t), que son periódicas con período mínimo 2π. Las funciones sen (2t) y cos(2t) también tienen período 2π pero su período mínimo es π. Más generalmente, dados ω...
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Curso 2o. Ingeniero de Telecomunicación. Ampliación de Matemáticas. Lección 4.
ANÁLISIS DE FOURIER. Curso 2009-10
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La serie de Fourier de una función
El planteamiento central de esta lección es el siguiente. Dada una función periódica f (t), por ejemplo de período 2π, queremos escribirla como unacombinación en la que intervengan únicamente senos y cosenos, que son las funciones periódicas de período 2π más simples y conocidas: f (t) ¿=?
∞ X n=0
[an cos(nt) + bn sen (nt)] .
Una serie de este tipo recibe el nombre de serie trigonométrica o serie de Fourier. El problema de la representación de una función mediante una serie trigonométrica surge, como veremos en la lección 6, de laresolución de ecuaciones en derivadas parciales. En torno a 1750, J. d’Alembert, D. Bernoulli (1700—1782) y L. Euler estudiaron la ecuación de ondas que gobierna el problema de la cuerda vibrante, un problema planteado y estudiado por B. Taylor (1685—1731) que había obtenido soluciones en forma de funciones sinusoidales. D’Alembert dio una solución muy general y Euler probó que si en el instante inicial laforma de la cuerda es una combinación finita de senos, entonces ocurrirá lo mismo en cualquier instante posterior, dando mucho más tarde, en 1777, las fórmulas que permiten calcular los coeficientes de la combinación. En 1753, D. Bernoulli utilizó esta representación para resolver el problema de la cuerda vibrante para una posición inicial cualquiera, pero su solución suscitó mucha controversia.Fue J.B. Fourier (1768—1830) quien, al analizar en una famosa memoria presentada en 1807 la ecuación que gobierna la transmisión del calor en una barra, retomó las ideas de Euler y Bernoulli y obtuvo resultados muy ajustados a los experimentos, colocando el estudio de las series trigonométricas –que hoy llevan su nombre– en el centro del escenario matemático del S. XIX. La teoría de las series deFourier tuvo a lo largo del siglo pasado profundas implicaciones para el análisis matemático y es hoy en día una herramienta fundamental de la ingeniería de telecomunicación. En la teoría de la señal y la comunicación, cuando t es la variable temporal se dice que f (t) es una señal periódica en tiempo continuo y cuando esta representación en serie de funciones trigonométricas sea correcta, decimosque hemos descompuesto la señal en armónicos o modos de vibración.
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Lección 4. Análisis de Fourier
En esta lección estudiaremos bajo qué condiciones puede hacerse esta representación, cómo calcular los coeficientes, los ejemplos más importantes, algunas propiedades y la forma compleja de las series de Fourier. Finalmente, para funciones –señales– no periódicas, se introduce latransformada de Fourier que, aunque es muy similar y comparte muchas propiedades con la transformada de Laplace, se emplea en contextos muy diferentes. Funciones periódicas. Recordemos que una función f : R → R es periódica de período T 6= 0 (o T -periódica) cuando existe T > 0 tal que f(t + T ) = f(t) para cualquier t ∈R.
En ese caso se tiene automáticamente que f(t + nT ) = f (t) para cualesquiera t ∈ Ry n ∈ Z. Esto significa que sus valores se repiten a intervalos regulares y que su gráfica puede dividirse en segmentos verticales de anchura T que son idénticos. Es obvio que si T es un período de f(t), entonces también lo son −T, ±2T, ±3T, . . . Salvo las funciones constantes, todas las funciones periódicas de interés en las aplicaciones, en particular las funciones continuas no constantes,tienen lo que se conoce como un período fundamental o mínimo; o sea, un período T > 0 tal que f (t) no es τ -periódica para ningún valor 0 < τ < T . Los ejemplos típicos de funciones periódicas son las funciones trigonométricas sen (t) y cos(t), que son periódicas con período mínimo 2π. Las funciones sen (2t) y cos(2t) también tienen período 2π pero su período mínimo es π. Más generalmente, dados ω...
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