Series De Fourier

Dadas las transformadas de las funciones F(t) obtener, sin integrar, las transformadas de F(at) en los siguientes ejercicios:
F(t)=sin⁡t cos⁡t; L{F(t)}= 1/(s^2+4)
L{sin⁡3t cos⁡3t }=
sin⁡3t cos⁡〖3t=1/2[sin⁡〖6t+sin⁡0t 〗]〗
sin⁡3t cos⁡〖3t=1/2 sin⁡6t 〗
L{〖1/2 sin〗⁡6t }=1/2 L{sin⁡6t }
1/2 L{sin⁡6t }=1/2 1/6 1/(s^2/6^2 +1)
1/2 L{sin⁡6t }=1/2 1/6 36/(s^2+36)
1/2 L{sin⁡6t}=3/(s^2+36)

L{-e^(-2t) sin⁡2t cos⁡2t }=
sin⁡2t cos⁡〖2t=1/2[sin⁡〖4t+sin⁡0t 〗]〗
sin⁡2t cos⁡〖2t=1/2 sin⁡4t 〗
L{-e^(-2t) 1/2 sin⁡4t }=1/2 L{-e^(-2t) sin⁡4t }
1/2 L{-e^(-2t) sin⁡4t }=1/2 1/4 1/(〖(s+2)〗^2/4^2 +1)
1/2 L{-e^(-2t) sin⁡4t }=1/2 1/4 16/(〖(s+2)〗^2+16)
1/2 L{-e^(-2t) sin⁡4t }= 2/(〖(s+2)〗^2+16)
Utilizando las transformadas de las funciones evaluar lassiguientes integrales:
a)∫_0^∞▒(cos⁡6t-cos⁡4t)/t dt
L{∫_0^∞▒(cos⁡6t-cos⁡4t)/t dt}= 1/s L{(cos⁡6t-cos⁡4t)/t}-1/s ∫_0^0▒(cos⁡6t-cos⁡4t)/t dt
L{(cos⁡〖6t-〗 cos⁡4t)/t}= L{cos⁡6t/t}-L{cos⁡4t/t}
L{cos⁡6t/t}=
L{cos⁡6t }=1/6 (s/6)/(s^2/6^2 +1)
L{cos⁡6t }=1/6 ( s/6*36)/(s^2+36)
L{cos⁡6t }= s/(s^2+36)
L{cos⁡6t/t}=∫_s^∞▒〖u/(u^2+36) du〗
a=u^2+36
da=2udu
L{cos⁡6t/t}=∫_s^∞▒〖u/a da/2u〗L{cos⁡6t/t}=1/2 ∫_s^∞▒〖 da/a〗
L{cos⁡6t/t}=1/2 lim┬(b→∞)⁡∫_s^b▒〖 da/a〗
L{cos⁡6t/t}=1/2 lim┬(b→∞)⁡〖〖[ln a]〗_s^b 〗
L{cos⁡6t/t}=1/2 lim┬(b→∞)⁡〖〖[ln (u^2+36)]〗_s^b 〗
L{cos⁡6t/t}=1/2 lim┬(b→∞)⁡〖[〖ln(b^2+36)〗⁡〖-ln⁡〖(s^2+36)〗 〗]〗
L{cos⁡6t/t}=1/2 {⁡〖[〖ln (∞^2+36)〗⁡〖]-ln⁡〖(s^2+36)〗 〗 〗}
L{cos⁡6t/t}=1/2 {⁡〖ln ∞〗⁡〖-ln⁡(s^2+36) 〗 }

L{cos⁡4t/t}=
L{cos⁡4t }=1/4 (s/4)/(s^2/4^2 +1)
L{cos⁡4t}=1/4 ( s/4*16)/(s^2+16)
L{cos⁡4t }= s/(s^2+16)
L{cos⁡4t/t}=∫_s^∞▒〖u/(u^2+16) du〗
a=u^2+16
da=2udu
L{cos⁡4t/t}=∫_s^∞▒〖u/a da/2u〗
L{cos⁡4t/t}=1/2 ∫_s^∞▒〖 da/a〗
L{cos⁡4t/t}=1/2 lim┬(b→∞)⁡∫_s^b▒〖 da/a〗
L{cos⁡4t/t}=1/2 lim┬(b→∞)⁡〖〖[ln a]〗_s^b 〗
L{cos⁡4t/t}=1/2 lim┬(b→∞)⁡〖〖[ln (u^2+16)]〗_s^b 〗
L{cos⁡4t/t}=1/2 lim┬(b→∞)⁡〖[〖ln(b^2+16)〗⁡〖-ln⁡〖(s^2+16)〗 〗]〗L{cos⁡4t/t}=1/2 {⁡〖[〖ln (∞^2+16)〗⁡〖]-ln⁡〖(s^2+16)〗 〗 〗}
L{cos⁡4t/t}=1/2 {⁡〖ln ∞〗⁡〖-ln⁡(s^2+16) 〗 }

L{(cos⁡〖6t-〗 cos⁡4t)/t}=1/2 {⁡〖ln ∞〗⁡〖-ln⁡(s^2+36) 〗 }-1/2 {⁡〖ln ∞〗⁡〖-ln⁡(s^2+16) 〗 }
L{(cos⁡〖6t-〗 cos⁡4t)/t}=1/2 ln ∞-1/2 ln⁡〖(s^2+36)- 〗 1/2 ln ∞+1/2 ln⁡(s^2+16)
L{(cos⁡〖6t-〗 cos⁡4t)/t}=1/2 ln⁡(s^2+16)-1/2 ln⁡〖(s^2+36) 〗
L{(cos⁡〖6t-〗 cos⁡4t)/t}=1/2 ln⁡〖((s^2+16))/((s^2+36) )〗L{(cos⁡〖6t-〗 cos⁡4t)/t}=1/2s ln⁡〖((s^2+16))/((s^2+36) )〗
b)∫_0^∞▒(cos⁡2t-cos⁡4t)/t dt
L{ ∫_0^∞▒(cos⁡2t-cos⁡4t)/t dt}= 1/s L{(cos⁡2t-cos⁡4t)/t}-1/s ∫_0^0▒(cos⁡2t-cos⁡4t)/t dt
L{(cos⁡〖2t-〗 cos⁡4t)/t}= L{cos⁡2t/t}-L{cos⁡4t/t}
L{cos⁡2t/t}=
L{cos⁡2t }=1/2 (s/2)/(s^2/2^2 +1)
L{cos⁡2t }=1/2 ( s/2*4)/(s^2+4)
L{cos⁡2t }= s/(s^2+4)
L{cos⁡2t/t}=∫_s^∞▒〖u/(u^2+4) du〗
a=u^2+4
da=2uduL{cos⁡2t/t}=∫_s^∞▒〖u/a da/2u〗
L{cos⁡2t/t}=1/2 ∫_s^∞▒〖 da/a〗
L{cos⁡2t/t}=1/2 lim┬(b→∞)⁡∫_s^b▒〖 da/a〗
L{cos⁡2t/t}=1/2 lim┬(b→∞)⁡〖〖[ln a]〗_s^b 〗
L{cos⁡2t/t}=1/2 lim┬(b→∞)⁡〖〖[ln (u^2+4)]〗_s^b 〗
L{cos⁡2t/t}=1/2 lim┬(b→∞)⁡〖[〖ln(b^2+4)〗⁡〖-ln⁡〖(s^2+4)〗 〗]〗
L{cos⁡2t/t}=1/2 {⁡〖[〖ln (∞^2+4)〗⁡〖]-ln⁡〖(s^2+4)〗 〗 〗}
L{cos⁡2t/t}=1/2 {⁡〖ln ∞〗⁡〖-ln⁡(s^2+4) 〗 }

L{cos⁡4t/t}=
L{cos⁡4t }=1/4(s/4)/(s^2/4^2 +1)
L{cos⁡4t }=1/4 ( s/4*16)/(s^2+16)
L{cos⁡4t }= s/(s^2+16)
L{cos⁡4t/t}=∫_s^∞▒〖u/(u^2+16) du〗
a=u^2+16
da=2udu
L{cos⁡4t/t}=∫_s^∞▒〖u/a da/2u〗
L{cos⁡4t/t}=1/2 ∫_s^∞▒〖 da/a〗
L{cos⁡4t/t}=1/2 lim┬(b→∞)⁡∫_s^b▒〖 da/a〗
L{cos⁡4t/t}=1/2 lim┬(b→∞)⁡〖〖[ln a]〗_s^b 〗
L{cos⁡4t/t}=1/2 lim┬(b→∞)⁡〖〖[ln (u^2+16)]〗_s^b 〗
L{cos⁡4t/t}=1/2lim┬(b→∞)⁡〖[〖ln(b^2+16)〗⁡〖-ln⁡〖(s^2+16)〗 〗]〗
L{cos⁡4t/t}=1/2 {⁡〖[〖ln (∞^2+16)〗⁡〖]-ln⁡〖(s^2+16)〗 〗 〗}
L{cos⁡4t/t}=1/2 {⁡〖ln ∞〗⁡〖-ln⁡(s^2+16) 〗 }

L{(cos⁡〖2t-〗 cos⁡4t)/t}=1/2 {⁡〖ln ∞〗⁡〖-ln⁡(s^2+4) 〗 }-1/2 {⁡〖ln ∞〗⁡〖-ln⁡(s^2+16) 〗 }
L{(cos⁡〖2t-〗 cos⁡4t)/t}=1/2 ln ∞-1/2 ln⁡〖(s^2+4)- 〗 1/2 ln ∞+1/2 ln⁡(s^2+16)
L{(cos⁡〖2t-〗 cos⁡4t)/t}=1/2 ln⁡(s^2+16)-1/2 ln⁡〖(s^2+4) 〗
L{(cos⁡〖2t-〗 cos⁡4t)/t}=1/2s...