Series De Fourier

SERIES DE FOURIER

MALCOM CLEMENT CAICEDO
CRISTIAN CAMILO ARBOLEDA
IVAN DAVID VIVAS RIOS

PROFESOR: ALVARO ORTIZ

UNIVERSIDAD DEL VALLE
ECUACIONES DIFERENCIALES
SANTIAGO DE CALI (VALLE DEL CAUCA)
2012

CONTENIDO.

1. INTRODUCCION.
2. EXPANSION EN SERIE DE FOURIER.
2.1. FUNCIONES PERIODICAS.
2.2. TEOREMA DE FOURIER.
2.3. LOS COEFICIENTES DE FOURIER.
2.4. FUNCIONES DE PERIODO2π.
2.5. FUNCIONES PARES E IMPARES.
2.6. ARMONICAS PARES E IMPARES.
2.7. PROPIEDAD DE LINEALIDAD.
2.8. CONVERGENCIA DE LAS SERIES DE FOURIER.
2.9. FUNCIONES DE PERIODO T.
3. FUNCIONES DEFINIDAS SOBRE UN INTERVALO FINITO.
3.1. SERIES DE RECORRIDO COMPLETO.
3.2. SERIES DEL SENO Y DEL COSENO DE MEDIO RECORRIDO.
4. DERIVACION E INTEGRACION DE SERIES DE FOURIER.
4.1. INTEGRACION SERIES DEFOURIER.
4.2. DERIVACION DE SERIES DE FOURIER.
5. APLICACIÓN SERIES DE FOURIER.
6. BIBLIOGRAFIA.

1. INTRODUCCION

La representación de una función en la forma de una serie es una práctica bastante común
en matemáticas. Probablemente las expansiones más familiares son las series de potencias
de la forma

En donde el conjunto base se compone de las funciones potencia

Con bastantefrecuencia hay ventajas al expandir una función en tales series, ya que es fácil
trabajar con unos pocos de los primeros términos para una buena aproximación. Por
ejemplo puede aplicarse integración o derivación término a término, o se pueden hacer
aproximaciones adecuadas.
Las funciones potencia son solo una ilustración de un conjunto base para la expansión de
funciones: se pueden utilizar muchosotros conjuntos base. En particular, una Serie de
Fourier es una expansión de una función periódica

de periodo

en la que el

conjunto base es el conjunto de funciones seno, obteniéndose una representación expandida
de la forma

A pesar de que la idea de expandir una función en la forma de una serie de este tipo fue
usada por Bernoulli, D` Alembert y Euler (1750) para resolver problemasasociados con la
vibración de un resorte, fue Joseph Fourier (1768-1830) quien desarrollo el método hasta un
nivel en el que es útil en casos mas generales.

Fourier postula en 1807 que una función arbitraria

puede ser representada por una

serie trigonométrica de la forma

El resultado fue considerado tan sorprendente que encontró oposición considerable de los
principales matemáticosde su tiempo, principalmente de Laplace, Poisson y, en especial, de
Lagrange, a quien se considera como uno de los grandes matemáticos de todos los tiempos.
Fourier durante varios años trabajó en la teoría de la conducción del calor, publicando en
1822 su famosa “Theorie Analytique de la Chaleur” (Teoría Analítica del calor), el cual se
convirtió desde entonces en la fuente para los métodosmodernos de resolución de
problemas prácticos asociados con ecuaciones diferenciales parciales sujetas a condiciones
de frontera dadas.
Aparte del gran valor práctico de las series de Fourier a la hora de resolver problemas de
física e ingeniería (teoría del sonido, conducción del calor, ondas electromagnéticas y de las
vibraciones mecanicas, etc.), su faceta puramente teórica ha influidoprofundamente en el
desarrollo general del análisis matemático durante los últimos 250 años. En concreto,
proporciono la principal fuerza impulsadora en la evolución del concepto de función, que en
sus diversas ramificaciones es, sin duda, central en matemáticas; condujo a Riemann y
Lebesgue a crear sus cada vez mas potentes teorías de integración, y a Cantor su teoría de
conjuntos; empujo aWeierstrass hacia su estudio critico del sistema de los números reales y
de las propiedades de continuidad y diferenciabilidad de funciones; y sugirió el contexto en
el que la idea geométrica de ortogonalidad logró desarrollarse como una de las nociones con
mayor poder unificador del análisis moderno.

2. EXPANSION EN SERIE DE FOURIER

2.1. FUNCIONES PERIODICAS.

Una función

se dice...