Series De Fourier

Cap´ ıtulo 5 Series de Fourier
5.1. Introducci´n o

La teor´ de las series de Fourier se origina a mediados del siglo XVIII ıa en relaci´n con el estudio de la cuerda vibrante. En 1753 Daniel Bernoulli o defend´ la tesis de que, para una amplia clase de funciones f (x), era posible ıa expresar f (x) como una serie de senos an sen nx. Sin embargo, otros matem´ticos de la ´poca (como D’Alamberty Euler) a e pensaban que esto no era posible. Posteriormente, Fourier (1807) usa estos desarrollos de forma natural en el estudio de la conducci´n del calor, pero o no aporta demostraciones. Dirichlet (1829) fue el primero en probar de una forma rigurosa que la serie de Fourier converge hacia la funci´n, si ´sta es o e diferenciable a trozos. Esta disputa y la obra de Fourier, Theorie Analytiquede la Chaleur (1822), dieron un gran impulso a la clarificaci´n del concepto de serie y al o desarrollo moderno del concepto de funci´n. o Para motivar el estudio de las series de Fourier, vamos a tratar de resolver un problema de contorno relativo a la ecuaci´n del calor por el m´todo de o e separaci´n de variables o 175

Se demuestra que, si se quiere encontrar la temperatura T (x, t), paracada instante t > 0, en cada punto de una barra delgada de longitud L, conocida la temperatura inicial T (x, 0) = f (x) y sabiendo que se mantiene la temperatura igual a 0◦ en los extremos de la barra, debemos resolver el problema de contorno siguiente:    = k∂ T ∂x2 T (0, t) = T (L, t) = 0, 0 < x < L, t > 0   T (x, 0) = f (x). El m´todo de separaci´n de variables se basa en la b´squeda de unae o u soluci´n de la ecuaci´n y de las condiciones de contorno con la forma u(x, t) = o o X(x) · τ (t). Las funciones desconocidas X(x) y τ (t) pueden determinarse a partir de las igualdades
τ = kτ X(0) = X(L) = 0. τ La primera igualdad obliga a que las funciones X y kτ deben ser constantes. X Por tanto, existe una constante real −λ de tal suerte que X X ∂T ∂t
2

X τ = = −λ. X kτ Paraencontrar X(x) y τ (t), debemos resolver los dos problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias siguientes: X = −λX X(0) = X(L) = 0 y τ = −λkτ . Este segundo tiene la soluci´n inmediata τ (t) = e−λkt . Para o resolver el primero, escribimos la ecuaci´n caracter´ o ıstica de su ecuaci´n difero encial, r2 = −λ. Si fuese λ < 0, la soluci´n general de la ecuaci´n diferencial o o vendr´ dada por ıa √ √ X(x)= c1 e( −λ)x + c2 e−( −λ)x , 176

en cuyo caso no habr´ forma de conseguir que X(0) = X(L) = 0. Por tanto, ıa √ √ debe ser necesariamente λ > 0. Entonces X(x) = c1 cos( λ)x + c2 sen( λ)x que, por las condiciones de contorno X(0) = X(L) = 0, se reduce a X(x) = sen nπx L

(λ = (nπ/L)2 ). Vemos, pues, que el problema de contorno X = −λX X(0) = X(L) = 0 s´lo tiene soluci´n no trivial para λ =(nπ/L)2 (n ∈ N). Se dir´ que son los o o a autovalores del problema de contorno. La soluci´n no trivial o Xn (x) = sen nπx L

que corresponde a cada autovalor λn = (nπ/L)2 se llama la autofunci´n o correspondiente. Volviendo a la funci´n T (x, t), el m´todo de separaci´n de variables nos o e o ha permitido encontrar soluciones de la ecuaci´n del calor (que verifican las o condiciones de contorno) dela forma nπx (n ∈ N). L Dada la linealidad del problema, tambi´n es soluci´n cualquier combinaci´n e o o lineal de funciones de este tipo T (x, t) = e−kt(nπ/L) · sen
2

N

T (x, t) =
n=1

an e−kt(nπ/L) · sen

2

nπx . L

Si nos olvidamos de la cuesti´n de la convergencia, resulta f´cil probar que o a una suma infinita
∞

T (x, t) =
n=1

an e−kt(nπ/L) · sen 177

2

nπx Ltambi´n es soluci´n de la ecuaci´n del calor (y de las condiciones de contorno). e o o Si queremos que esta ultima funci´n verifique tambi´n la condici´n inicial ´ o e o T (x, 0) = f (x), los coeficientes an deben escogerse de forma que se cumpla la igualdad
∞

f (x) =
n=1

an sen

nπx . L

Es decir, la funci´n f (x) debe poder representarse como una suma de senos. o Por tanto, se podr´...