Series de furier

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INTEGRALES DE FOURIER Y SUS APLICACIONES

1. Encontrar la serie de Fourier de la función y graficar la función.

fx=coshπx, 1≤x≤1

Si sabemos que:
fx=coshπx=eπx+e-πx2
Usando las ecuación las ecuaciones de Fourier para una p=2L
a0=12L-llf(x)dx
a0=12-11eπx+e-πx2dx
a0=14-11eπxdx+-11e-πxdx
a0=14eπxπ-e-πxπ-11
Sustituyendo los límites esto quedaría:
a0=12πeπx-e-πxan=1L-llfxcosnπxLdx
an=-11eπx+e-πx2 cosnπx1dx
an=12-11eπx cosnπxdx+-11e-πx cosnπxdx

Desarrollamos las integrales por parte,
u=cosnπx→du=-nπ sen nπx dx
dv=eπxò e-πx→v=eπxπ ò -e-πxπ

2. Desarrollar por serie de Fourier complejas.
fx=x, si -π<x<π

La formula de integrales complejas es la siguiente:
Fx=12π-ππfxe-iwxdx
Por lo tanto la integra l compleja para este caso es:
Fx=12π-ππxe-iwxdx
Lacual es resuelta por integral por parte así:
u=x→du=dx
dv=e-iwx→v=-1iwe-iwx
Sustituimos:
Fx=12π-xiwe-iwx-ππ+1iw-ππe-iwxdx
Fx=12π-xiwe-iwx-1i2w2e-iwx-ππ
Sabiendo el imaginario es:
1i=-i
i2=-1
Entonces:
Fx=12πxiwe-iwx+1w2e-iwx-ππ
Sustituimos los límites:
Fx=12ππiwe-iwπ+1w2e-iwπ-(-π)iwe-iw(-π)+1w2e-iw(-π)

Fx=12ππiw+1w2e-iwπ+(π)iw-1w2eiwπ
La solución para la integral compleja deFourier es:
Fx=1w2ππi+1we-iwπ+πi-1weiwπ

3. Representar las siguientes funciones f(x) , por una serie de Fourier de senos.
fx=π2, si 0<x<π2π-x, si π2<x<π

Al graficar es función resulta ser una función par e impar; donde la serie quedaría:
fx=a0+n=1∞ancosnx+bnsennx ;
Donde fxexpresada en una serie de senos quedaría:
a0=12π-ππf(x)dx
a0=12π0π2π2dx+π2π(π-x)dx; alresolver estas integrales obtenemos que:
a0=38π2
Por lo tanto la serie de Fourier de senos se obtiene así:
bn=1π-ππfxsen nx dx
bn=1π0π2π2sen (nx)dx+π2ππ-xsen (nx)dx
bn=120π2sen (nx)dx+π2πsen (nx)dx-1ππ2πx sen (nx)dx
u=x→du=dx
dv=sen nx dx→v=-1ncos nx
bn=-12ncos nx0π2-1ncos nxπ2π-1π-xncos nx+1nπ2πcos nx dx
Reemplazando los límites estos no quedaría:
bn=1πn2sen nπ2+12n
Dándose dos casos;* Donde bn para los impares:
sen nπ2=(-1)n ; n=1, 3,5,7,…
* Donde bn para los pares:
sen nπ2=0 ; n=2,4,6,8,…
Por lo tanto la serie de Fourier de senos es la siguiente:
fx=n=1n1πn2sen nπ2+12nsen nx

4. Encontrar la serie de Fourier de las funciones y su suma de la serie.
fx=0 si 0<x<π1 si π<x<2π=1-12+15-17+…

Donde el periodo es:
p=2L (1);para hallar el valor del periodo es:
p=2π-0 → p=2π; remplazando en la ecuación (1):
2π=2L→L=π
Sabiendo que la serie de Fourier para cualquier p=2π
fx=a0+n=1∞ancosnx+bnsennx
a0=12π-ππf(x)dx ; Por lo tanto la integral quedaría:
a0=12ππ2πdx= 12
Donde la an=0 ; porque es una función impar
bn=1π-ππfxsen nx dx
bn=1ππ2πsen nx dx
bn=-1nπcos (nx)π2π
bn=-1nπcos2nπ-cos⁡(nπ)
Sustituyendo loslímites obtenemos que la función serie la siguiente:

bn=-1nπ1-(-1)n
Para n=pares bn=0
Para n=impares bn=-2nπ
Por lo tanto la serie de Fourier es:
fx=12+n=1∞1nπ(-1)n-1sennx
fx=12-2nπsen x+0-23πsen 3x+..
0=12-2πsen x-23πsen 3x-25πsen 5x-27πsen 7x
-12=-2πsen x-23πsen 3x-25πsen 5x-27πsen 7x…
Además suponiendo quefx es la suma de la serie y haciendo x=π2 se tiene:
fπ2=12-2π1-13+15-17…1-13+15-17…=π4

5. Usando la identidad de Parserval que consiste en:
1L-LL(f(x))2dx=a022+n=1∞(an2+bn2)
xπ-x=π26-cos2x12+cos4x22+cos6x32

6. Usando la representación de la integral de Fourier, demostrar que:
0∞senw cosxwwdw= π2 si 0≤x<1π4 si x=10 si x>1
Aplicando las siguientes ecuaciones de la integral de Fourier:
fx=0∞Awcoswx+Bwsen wx dw
Donde Bw=0; cuando lafunción es par, por lo tanto función quedaría que:
fx=0∞Awcoswx dw (1), siendo Aw=2π0∞fxcoswx dx.
Para este caso hallamos:
a). fx=π2
Aw=2π01π2coswx dx
Aw=01coswx dx=sen wxw01
Aw=sen ww
Ahora sustituimos en la ecuación (1) y nos queda que:
fv=0∞sen wcoswxw dw
b). fx=π4 y fx=0
Al hallar Aw=0; por lo tanto al remplazarlo fv=0

7. Transformadas de Fourier de coseno.
fx=e-x22...
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