Series De Furier

Divulgaciones Matem´aticas v. 5, No. 1/2 (1997), 43–60

Series de Fourier, Transformadas
de Fourier y Aplicaciones
Fourier series, Fourier Transforms and Applications
Genaro Gonz´alez
Departamento de Matem´
atica y Computaci´
on
Facultad Experimental de Ciencias
Universidad del Zulia. Apartado Postal 526
Maracaibo 4001 - Venezuela
gonzalez@luz.ve
Resumen
En este art´ıculo se estudian las seriesde Fourier en el c´ırculo
y la transformada de Fourier de funciones reales infinitamente
diferenciables con todas sus derivadas r´apidamente decrecientes.
Tambi´en se dan ejemplos de algunas de las aplicaciones m´as importantes del an´alisis de Fourier a varias ramas de la matem´atica
y de la f´ısica.
Palabras y frases clave: Teorema del isomorfismo, serie de
Fourier, transformada de Fourier,identidad de Parseval, identidad de Plancherel, funciones de Schwartz.

Abstract
In this article we study the Fourier series in the circle and the
Fourier transform of infinitely diferentiable real functions with
all its derivatives rapidly decreasing. We also provide examples
of some of the most important aplications of Fourier analysis to
several branches of mathematics and physics.
Key words andphrases: The isomorphism theorem, Fourier
series, Fourier transform, Parseval identity, Plancherel identity,
Schwartz functions.

44

1

Genaro Gonz´alez

Introducci´
on

La idea b´asica de las series de Fourier es que toda funci´on peri´odica de per´ıodo
T puede ser expresada como una suma trigonom´etrica de senos y cosenos del
mismo per´ıodo T . El problema aparece naturalmente en astronom´ıa, dehecho
Neugebauer (1952) decubri´o que los Babilonios utilizaron una forma primitiva
de las series de Fourier en la predicci´on de ciertos eventos celestiales.
La historia moderna de las series de Fourier comenz´o con D’Alembert
(1747) y su tratado de las oscilaciones de las cuerdas del viol´ın. El desplazamiento u = u(t, x) de una cuerda de viol´ın, como una funci´on del tiempo t y
de la posici´onx, es soluci´on de la ecuaci´on diferencial
∂2u
∂2u
=
,
∂t2
∂x2

t > 0,

0 < x < 1,

sujeto a las condiciones iniciales u(t, 0) = u(t, 1) = 0 para t ≥ 0, ∂u
∂t (0, x) = 0
para 0 < x < 1. La soluci´on de este problema es la superposici´on de dos
ondas viajando en direcciones opuestas a la velocidad 1, como lo expresa la
f´ormula de D’Alembert:
u(t, x) =

1
1
f (x + t) + f (x − t),
2
2

en la cualf es una funci´on impar de per´ıodo 2 que se anula en los puntos
x = 0, ±1, ±2, . . . Euler en 1748 propuso que tal soluci´on pod´ıa ser expresada
en una serie de la forma
∞

f (x) =

fˆ(n) sin nπx,

n=1

y como consecuencia
u(t, x) =

∞

fˆ(n) cos nπt sin nπx.

n=1

Las mismas ideas fueron luego expuestas por D. Bernoulli (1753) y Lagrange
(1759). La f´ormula
1

fˆ(n) = 2

f (x) sin nπx dx
0para calcular los coeficientes apareci´o por primera vez en un art´ıculo escrito
por Euler en 1777.

Series de Fourier, Transformadas de Fourier y Aplicaciones

45

La contribuci´on de Fourier comenz´o en 1807 con sus estudios del problema
del flujo del calor
∂u
1 ∂2u
=
,
∂t
2 ∂x2
presentado a la Acad´emie des Sciences en 1811 y publicado en parte como
la c´elebre Th´eorie analytique de la chaleuren 1822. Fourier hizo un intento
serio por demostrar que cualquier funci´on diferenciable puede ser expandida
en una serie trigonom´etrica. Una prueba satisfactoria de este hecho fue dada
por Dirichlet en 1829. Riemann tambi´en hizo contribuciones importantes al
problema.
Modernamente el an´alisis de Fourier ha sido impulsado por matem´aticos
de la talla de Lebesgue, Hardy, Littlewood, Wiener,Frobenius, Selberg, Weil
y Weyl entre otros.
En este art´ıculo se estudian los fundamentos te´oricos de mayor relevancia de las series y transformadas de Fourier y se presentan algunas de sus
aplicaciones.

2

Espacios de Hilbert

Definici´
on 1. Un espacio eucl´ıdeo es un espacio vectorial complejo H junto
con una funci´
on que asocia a cada par ordenado de vectores x, y ∈ H un
n´
umero complejo...