Series de rayman

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Instituto Tecnológico de Chihuahua [pic]


“Calculo integral”


Unidad 5: Series


Maestra: Elizabeth León



Integrantes del equipo:
Juan Nieto Carrillo
Mario Ramírez
Erick Alejandro Villalobos











5.1 Definición de serie
Una serie es la generalización de la noción de suma a los términos de una sucesión infinita. Informalmente, es el resultado de sumar lostérminos: a1 + a2 + a3 + · ·  lo cual suele escribirse en forma más compacta con el símbolo de sumatorio: [pic].

5.1.1 Finita

Una diferencia finita es una expresión matemática de la forma f(x + b) − f(x +a). Si una diferencia finita se divide por b − a se obtiene una expresión similar al cociente diferencial, que difiere en que se emplean cantidades finitas en lugar de infinitesimales. Laaproximación de las derivadas por diferencias finitas desempeña un papel central en los métodos de diferencias finitas del análisis numérico para la resolución de ecuaciones diferenciales.

La diferencia anterior puede considerarse un operador diferencial que hace corresponder la función f con Δf. El teorema de Taylor puede expresarse por la fórmula
[pic]
Donde D denota el operador derivada, quehace corresponder [pic] con su derivada [pic], es decir, [pic]
Formalmente, invirtiendo la exponencial,
[pic]
Esta fórmula sigue siendo válida en el sentido de que ambos operadores dan el mismo resultado cuando se aplican a un polinomio. Incluso para funciones analíticas, las series de la derecha no convergen con seguridad, sino que puede tratarse de una serie asintótica. Sin embargo, puedenemplearse para obtener aproximaciones más precisas de la derivada. Por ejemplo, Los dos primeros términos de la serie llevan a:
[pic]
El error de la aproximación es del orden de h2.
Las fórmulas análogas para los operadores posterior y central son
[pic]


5.1.2 Infinita

A la suma de una sucesión de términos se denomina serie y el valor de dicha suma, si es que tiene alguno se definecomo:

S= lim S n.

N[pic]

Un ejemplo de serie infinita, denominada así debido a que dicha sucesión es infinita, es la denominada serie geométrica, la cual se obtiene a partir de un término inicial multiplicado por una cantidad constante.

Por ejemplo:

A+ar+ar2+ar3+…+arn-1+…

En este caso la cantidad inicial es multiplicidad por la cantidad constante r para obtener dicha serie infinita.En general una serie infinita significa una expresión de forma a1+a2+a3+…+an+…, donde an son números o funciones dadas por alguna regla o formula. Los tres puntos significan que la serie nunca termina. Si se tiene duda de cómo es la regla usada en la formación de la serie, el término general o termino n-ésimo deberá expresarse por ejemplo:

12+22+…+n2+…

x-x2+x2+…+(-1)n-1xn(n-1)!+…

Tambiénusaremos formas abreviadas para denotar las series por ejemplo.
Las aplicaciones de las series infinitas son muchas, pero mencionamos como lo más importante para nosotros en este momento, su uso en la solución de problemas matemáticos que no pueden resolverse en términos de funciones elementales (potencias, raíces, funciones trigonométricas y sus inversas, logaritmos y exponenciales ycombinaciones de estos), o en caso de que puedan resolverse, es muy complicado trabara con ellos. En estos casos encontramos una respuesta en función de una serie y usamos los términos requeridos de acuerdo a la precisión deseada. Las ecuaciones diferenciales son resueltas en muchas ocasiones en función de series infinitas. Una integral definida, 0.1 por ejemplo, ∫ e − x0 dx .

Para la cual no haysolución en términos de funciones elementales, se puede resolver expandiendo su integrando en un aserie e integrando termino a termino dicha serie.

5.2 Serie numérica y convergencia. Prueba de la razón ( criterio de D’ Alembert) y Prueba de la raíz (criterio de Cauchy)

En matemáticas, una secuencia es una lista ordenada de objetos (o eventos). Como un conjunto, que contiene los miembros...
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