Series y sucesiones

Ejercicios de Análisis Matemático Sucesiones y series de funciones
1. Estudia la convergencia uniforme en intervalos de la forma Œ0; a y Œa; C1Œ donde a > 0, de la sucesión de funciones ffn g definidas para todo x > 0 por: fn .x/ D 2nx 2 : 1 C n2 x 4

1 n2 x 4 0 Solución. Es evidente que lKm ffn .x/g D 0. Como fn .x/ D 4nx ı , tenemos que n!1 .1 Cp2 x 4 /2 n p p 0 0 fn .1= n/ D 0, fn0 .x/ > 0para 0 < x < 1= n y fn .x/ < 0 para x > 1= n. Deducimos que la p p función fn es estrictamente creciente en Œ0; 1= n y estrictamente p decreciente en Œ1= n; C1Œ, por lo que fn alcanza un máximo valor en RC en el punto xn D 1= n. o

fn .x/ D
1

2nx 2 1 C n2 x 4

1

2

Dado un número a > 0 sea n0 tal que xn0 < a. Para todo n > n0 tenemos que xn < a, y por tanto: mK x ffn .x/ W 0 6 x 6ag D fn .xn / D 1; mK x ffn .x/ W x > ag D fn .a/ a a Como lKm ffn .a/g D 0 se sigue que ffn g converge uniformemente en Œa; C1Œ pero, evidenteı mente, no converge uniformemente en Œ0; a. © 2. Estudia la convergencia uniforme en Œ0; 1, de la sucesión de funciones ffn g definidas para x 2 0; 1 por fn .x/ D x n log.1=x/, y fn .0/ D 0.
0 fn .x/D0 si, y sólo si, log x D 0 y fn .x/ < 0 para e 1=n< x 1=n

1=n, es decir, x De . > 0 para 0 < x < e 1=n 6 1. Deducimos que la función fn es estrictamente creciente en 0; e  y estrictamente decreciente en Œe 1=n ; 1, por lo que fn alcanza un máximo valor en Œ0; 1 en el punto xn D e 1=n . Por tanto:
0 Además fn .x/

Solución. Es evidente que lKm ffn .x/g D 0. Como fn0 .x/ D ı
n!1 1=n

n log x C 1 x n

1

tenemos que

mK xffn .x/W x 20; 1g D fn .e a

1=n

/D

1 1 e n

y, deducimos que la sucesión ffn g converge uniformemente en Œ0; 1.

©

Dpto. de Análisis Matemático

Universidad de Granada

Ejercicios de Análisis Matemático

2

3. Dado ˛ 2 R, consideremos la sucesión de funciones ffn g, donde fn W Œ0; 1 ! R es la función definida para todo x 2 Œ0; 1 por: fn .x/ D n˛ x.1 x 2 /n :

¿Para quévalores de ˛ hay convergencia uniforme en Œ0; 1? ¿Para qué valores de ˛ hay convergencia uniforme en Œ ; 1, donde 0 < < 1? Solución. Observa que fn .0/ D fn .1/ D 0 y, si 0 < x < 1, la sucesión fn˛ .1 x 2 /n g es de la forma fn˛ n g con 0 < < 1 por lo que lKm ffn .x/g D 0. Por tanto, en el intervalo Œ0; 1 la ı
n!1

sucesión ffn g converge puntualmente a cero. Tenemos que
0 fn .x/ D n˛ .1

x2 /n

1

.1

.1 C 2n/x 2 /

1 Pongamos xn D p . Entonces fn0 .xn / D 0, fn0 .x/ > 0 para 0 < x < xn y fn0 .x/ < 0 para 1 C 2n xn < x < 1. Deducimos que la función fn es estrictamente creciente en Œ0; xn  y estrictamente decreciente en Œxn ; 1, por lo que fn alcanza un máximo valor en Œ0; 1 en el punto xn .

0.50

fn .x/Dn 4 x.1 x 2 /n

1

0.50

fn .x/Dn 2 x.1 x 2 /n

10.25

0.25

La sucesión ffn g para ˛ D 1=4

1

La sucesión ffn g para ˛ D 1=2

1

Como

se deduce que lKmffn .xn /g D 0 si, y sólo si, ˛ < 1=2. Pot tanto, la sucesión ffn g converge ı uniformemente en Œ0; 1 si, y sólo si, ˛ < 1=2. Dado 0 < < 1, sea n0 tal que xn0 < . Para todo n > n0 tenemos que xn < y por tanto mK xffn .x/ W 6 x 6 1g D fn . / ! 0 por lo que ffn g convergeuniformemente en Œ ; 1 para todo a ˛ 2 R. 4. Para cada n 2 N sea fn W Œ0; =2 ! R la función dada por: fn .x/ D n.cos x/n sen x: Estudia la convergencia puntual de la sucesión de funciones ffn g y la convergencia uniforme en los intervalos Œ0; a y Œa; =2 donde 0 < a < =2. Solución. Es claro que fn .0/ D fn . =2/ D 0 y para 0 < x < =2 la sucesión fn.cos x/n g es de la forma fn n g con 0 < < 1 por loque lKm ffn .x/g D 0. Por tanto, en el intervalo ı
n!1

 n˛ fn .xn / D p 1 1 C 2n

1 1 C 2n

Ãn

Œ0; =2 la sucesión ffn g converge puntualmente a cero. Observa también que fn .x/ > 0 para todo x 2 Œ0; =2. Intentemos calcular el máximo absoluto de fn .x/ en Œ0; =2. Tenemos que:
0 fn .x/ D n.cos x/n 1

.cos2 .x/

n sen2 .x//:
Universidad de Granada

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