Series

Sucesiones
Definición
Sucesión
Se denomina sucesión a una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales.
Para denotar el n-ésimo elemento de la sucesión se escribe an en lugar def(n).
Ejemplo:
an = 1/n
a1 = 1, a2 = 1/2, a3 = 1/3, a4 = 1/4, ...
2*1 /(1 + 1), 2*2 /(1 + 2), 2.3/(1 + 3), 2*4 /(1 + 4),.....R= 2/2, 2/3, 6/4, 8/5,.....
Definición del Límite de una Sucesión:
Sedefine de la siguiente manera; Si para ð > 0 existe M >0 tal que [an - L] < ð siempre que n > M ,entonces decimos que el límite de la sucesión {an} es L y escribimos :
Limn-ðð an= L
Las sucesionesque tienen límite (finito) se llaman covergentes y las demás divergentes.
Límite de una Sucesión:
Sea f función de una variable real tal que :
Límx-oo f (x) = L
Si {an}es una sucesión tal que f(n) = an para todo entero positivo n, entonces :
Límn-oo an = L
Propiedades de los Límites de las sucesiones:
Si: Límn-oo an= L y Límn-oo bn = K
Las siguientes propiedades son válidas:
1)Límn-oo(an+- bn) = L +- K 2) Lím n-oo can = cL, c es cualquier número real.
3) Límn-oo (an bn) = LK 4) Límn-oo an/bn = L/K, solo si bn es diferente de 0

PROPIEDADES DE LAS SERIES

El carácter de unaserie no se altera si se suprimen o alteran un número finito de términos.



Suprimiendo los p primeros términos, tenemos:



La serie A’n tiene el mismo carácter que la serie An pues K es unnúmero finito.



Alterando los p primeros términos, tenemos:



Puesto que p es un número finito. De ahí tenemos:



El carácter de una serie no se altera si todos sus miembros semultiplican por una cantidad constante:



El carácter de una serie convergente o divergente no se altera si se emplea la propiedad asociativa de la suma. Tampoco varía la suma de la serie si esta esconvergente. Sea la serie:



Asociando términos obtenemos la serie:



Y así:



La nueva sucesión A’n está contenida en An y se demuestra que ambas sucesiones tienen el mismo...