Señales discretas

1. Modelos de Sistemas Discretos

1. Modelos de Sistemas Discretos ______________________________________ 1
1.1. Introducción ________________________________________________________ 2 1.2. Representación en Variables de Estado __________________________________ 2
1.2.1. Valor entre muestras _________________________________________________ 3

1.3. Cálculo de las Matrices Discretas_______________________________________ 3 1.4. Evolución del Estado _________________________________________________ 7 1.5. Pasaje de Discreto a Continuo__________________________________________ 7 1.6. Muestreo de Sistemas con Retardo______________________________________ 8 1.7. Variables de Estados con Otro Bloqueador _____________________________ 11 1.8. Transformaciones de Estados_________________________________________ 12
1.8.1. Forma Observable__________________________________________________

13 1.8.2. Forma Controlable _________________________________________________ 13

1.9. Modelos de Entrada Salida ___________________________________________ 14 1.10. Respuesta Impulsional ______________________________________________ 14 1.11. Operador Desplazamiento___________________________________________ 15 1.12. Función de Transferencia ___________________________________________ 18
1.12.1. Función de Transferencia en Transformada Z _____________________________ 22 1.12.2. Discretización de la Función de Transferencia ____________________________ 23

1.13. Relación de Polos y Ceros Continuos y Dicretos_________________________ 26 1.14. Sistemas con Función de TransferenciaInversa Inestable ________________ 30 1.15. Elección del Período de Muestreo_____________________________________ 31

1

1.1. Introducción En este apartado se presentarán los modelos matemáticos en donde el sistema será estudiado como visto desde el computador. Éste recibe mediciones del proceso a intervalos discretos y transmite una nueva señal de control también a intervalos discretos. Elobjetivo es entonces describir los cambios en las señales de muestra a muestra sin importar el comportamiento entre ellas. Es de recalcar que a pesar de que estos modelos muestran el comportamiento en los puntos de muestreo, el proceso físico sigue siendo un proceso continuo. 1.2. Representación en Variables de Estado No se debe olvidar que la planta a controlar sigue siendo continua y que seobserva su comportamiento en el instante de muestreo. Sea una planta con una dinámica descripta en variables de estado como la ecuación siguiente:
 x ( t ) = Ax ( t ) + Bu ( t ) &   y ( t ) = Cx ( t ) + Du ( t ) 
[1.1]

Una situación común en control es encontrar los CDA construidos de tal manera que mantengan la señal analógica constante hasta la llegada de una nueva conversión. Es naturalentonces elegir los instantes de muestreo, tk, como los instantes en donde el control cambia. Como la señal de control es discontinua, es necesario precisar su comportamiento en la discontinuidad. Se adopta por convención que la señal es continua por derecha. Si se lo controla con una señal u reconstruida con un bloqueador de orden cero, esta será constante durante todo el período de muestreo y laevolución de los estados durante este período se podrá calcular, resolviendo [1.1],

x (t) = e

A( t−t k )

x ( tk ) + ∫ e
t tk

A(t −τ )

Bu (τ ) dτ

[1.2]

para el instante siguiente resulta,

x ( tk +1 ) = xk +1 = e

A( tk +1 − tk )

x (tk ) + ∫

tk +1

tk

e

A( t −τ )

dτ Bu ( tk )

[1.3]

La segunda igualdad resulta de considerar constante u entre instantesde muestreo. El vector de estado en tk+1 es una función lineal de x(tk) y u(tk). Si los conversores AD y DA están perfectamente sincronizados y si el tiempo de conversión es despreciable, u e Y pueden considerarse como muestreadas en el mismo instante. La ecuación del sistema muestreado es

 x ( tk +1 ) = Φ ( tk +1 , tk ) x ( tk ) + Γ ( tk +1 , tk ) u ( tk )    y ( tk ) = Cx ( tk ) + Du (...