Simplificacion de fracciones algebraicas

Fracciones Algebraicas

1

Simplificaci´ n de Fracciones Algebraicas o
Una fracci´ n algebraica es el cociente indicado de dos expresiones algebraicas. As´, a es una fracci´ n o ı b o algebraica porque es el cociente indicado de la expresi´ n a (dividendo) entre la expresi´ n b (divisor). o o El dividendo a se llama numerador de la fracci´ n algebraica, y el divisor b, denominador. El numeroador y el denominador son los t´ rminos de la fracci´ n. e o

Principio Fundamental de las Fracciones

Si cada miembro de una fracci´ n se multiplica o se divide por una misma cantidad o diferente de cero, el valor de la fracci´ n no se altera. o

a b

=

an bn

a b

=

a÷n b÷n

Los Signos En una fracci´ n algebraica hay que considerar tres signos: el signo de la fracci´ n, el oo signo del numerador y el signo del denominador.
a b

=

−a −b

a = − −a = − −b b

−a b

=

a −b

= −a b

En una fracci´ n se puede cambiar simult´ neamente los signos del numerador y del o a denominador sin alterar el valor de la fracci´ n. Sin embargo, si se cambia el signo del o numerador o el signo del denominador, se debe cambiar entonces el signo que precede a la fracci´ n.o Para cambiar el signo al numerador o al denominador -cuando el numerador y/o el denominador de la fracci´ n es un polinomio- hay que cambiar el signo, a cada uno de los o t´ rminos del polinomio. e

Ejemplo 1 a−5 5−a = b−4 4−b

Ejemplo 2 a−5 a−5 5−a =− =− b−4 4−b b−4

www.matebrunca.com

Prof. Waldo M´ rquez Gonz´ lez a a

Fracciones Algebraicas

2

Ejemplo 3

−a + b b−a a−b == x−y −x + y y−x De acuerdo con lo anterior la fracci´ n o ientes:
x−2 x−3

puede escribirse de los cuatro modos sigu-

x−2 2−x 2−x x−2 = =− =− x−3 3−x x−3 3−x Nota 1 ´ Las siguientes igualdades pueden ser utiles para cambiar el signo a un n´ mero par de u factores sin cambiar el signo de la fracci´ n: o

ab (−a)b (−a)b a(−b) (−a)(−b) ab (−a)(−b) = = = = = = xy (−x)y x(−y) x(−y) xy (−x)(−y)(−x)(−y) Nota 2 ´ Las siguientes igualdades pueden ser utiles para cambiar el signo a un n´ mero impar u de factores cambiando el signo de la fracci´ n: o ab (−a)b ab (−a)(−b) (−a)b =− =− =− =− xy xy x(−y) (−x)y (−x)(−y) Fracciones Equivalentes ´ Tanto en aritm´ tica como en algebra una primera fracci´ n es equivalente a otra, si la e o segunda fracci´ n puede obtenerse a partir de la primeramultiplicando o dividiendo tanto o el numerador como el denominador de la primera fracci´ n por el mismo n´ mero o expreo u si´ n algebraica. o Simplificar una expresi´ n algebraica es convertirla es una fracci´ n equivalente cuyos o o t´ rminos no tengan factores comunes. La fracci´ n resultante se conoce como fracci´ n ire o o reductible y entonces la fracci´ n est´ reducida a su m´ s simpleexpresi´ n o a su m´nima o a a o ı expresi´ n. o

Fracciones Algebraicas

3

Reducci´ n a la M´nima Expresi´ n o ı o Reducir una fracci´ n algebraica es cambiar su forma sin cambiar su valor. o Para reducir una fracci´ n a su m´nima expresi´ n, se factoriza primero el numerador y o ı o el denominador y luego se divide cada uno de ellos entre cada factor que les sea com´ n. u ´ La aplicaci´ n pr´ctica de esto ultimo se conoce como la Ley de Cancelaci´ n. o a o Recordar que: ((nunca se cancelan t´ rminos del numerador y del denominador; solo e se cancelan factores)). Ley de Cancelaci´ n o an a n a = = bn b n b Errores Comunes

a+b a+b b = = a+c a+c c a3 + b a3 + b = = a2 + b a a 2 − 5x 2− 5x 2 − x = = 5a 5a a (a − 3b)(4 + 7b) (4 + 7b) = (a − 3b)4 − 7b 4 − 7b

Fracciones Algebraicas

4Ejercicios
Instrucciones: reducir a la m´nima expresi´ n los monomios siguientes. ı o
18 48 39a 65m a2 a 8x 2y 3xy 9x2 12ab 16ab2 12x2 y 3 21x3 y 2 a2 ab 5a 35a2 b x2 y 2 x3 y 3 ax3 4x5 y 6m2 n3 3m 9x2 y 3 24a2 x3 y 4 6xy 2 z 4 9x2 y 2 z 3 a2 b 2 a4 b 9x4 3x3 48a3 b5 16a2 b2 250x3 y 3 z 7 25x5 y 4 z 7 34a5 b5 c5 85a7 b9 x4 23a9 x7 46a4 x4 y 2 25x8 125x9 y 21mn3 x6 28m4 n2 x2 42a2 c3 n...