Simulacion Estadística

Facultad de Ciencia
Departamento de Matemáticas y Computación
Ingeniería en Estadísticas

Trabajo Nº1
Resolución Pep 1

Alumnos: Francisco Farías
Ricardo Ochoa
Fabio Paredes

Profesor: Claudio Beltrán
Ayudante: Gabriel Ugalde
Ramo: Simulación Estadística
Fecha: 09/11/2012

Índice

Nº página
*Índice 2
* Problema Nº1 3
* Problema Nº2 5
* Problema Nº3 7
* Problema Nº4 10

Problemas
1. Deseamos estimar mediante simulación

θ=-∞+∞1- cosx x2 dx

Para tal efecto se debe:
a) Implementar el algoritmo a través de Monte Carlo (MC) para calcular θ
b) Implementar en R un programa (mínimo 1000 valores) para el cálculo de esta integral. Construyaun intervalo al nivel 100(1-α) % para distintos valores de α.

* Se procede a realizar el inciso a):

El algoritmo para calcular θ mediante el método de MC está dado por los siguientes pasos:
Paso1) Generar u1, u2, u3, un ~ U (0,1) (la sucesión de variables aleatorias es independiente e idénticamente distribuida i.i.d.)
Paso2) Calcular 2g((1-cos((1/u1) – 1)/((1/u1)-1)2)*1/u12,...,2g((1-cos((1/ un) – 1)/((1/ un)-1)2)*1/ un2 (que también son independientes e idénticamente distribuidas)
Paso3) Calcular gn = 1ni=1ng(ui)
Paso4) Imprimir el valor de gn, que es la estimación de θ.

* Se procede a realizar el inciso b):

El algoritmo en el lenguaje de programación R será el siguiente:

“montecarlo<-function(n)
{
i=1 #contador
x<-c(runif(n)) #vector detamaño n
while(i <=n) #bucle que asigna promedios a un vector
{
u<-runif(n) #generador de números aleatorios
g<-2*((1-cos((1/u)-1))/((((1/u)-1)^2)*u^2)) # función propuesta
x[i]<-mean(g) #promedio de las evaluaciones de los números aleatorios en la función
i=i+1
}
print(x) #impresión del vector con promedios
var(x) #varianza del vector
}

montecarlo(1000)”

Nota: Entremayor sea el tamaño del vector con promedios, la varianza de éste tenderá a disminuir.

Para la construcción del intervalo de confianza se necesita de la desviación estándar de x. Se aplica var(x) en R para obtener la varianza del vector x. Luego, utilizando el Teorema del Límite Central, se construirán los intervalos de confianzas para distintos niveles de confiabilidad.

Intervalos deConfianza al nivel 100(1- α) %= [θ± z1-α2 * var(θ)]
Utilizando:
θ=3.140208
Var(θ)=0.2537067

α | Límite Inferior | Límite Superior |
0.05 | 2.724129012 | 3.556286988 |
0.01 | 2.549071389 | 3.731344611 |
0.1 | 2.812926357 | 3.467489643 |

2. Usando el método de la transformada inversa se le pide a usted generar valores de una variable aleatoria X con función de masa de probabilidad:PX=j= 1j(j+1), j=1,2,…

Para tal efecto usted debe implementar en método de la transformada inversa y luego realizar un programa en R que le permita obtener como mínimo 1000 valores de esta variable aleatoria, haga gráfica respectiva.

A continuación se procede a realizar la solución del problema:

El método de la transformada inversa para distribuciones discretas tiene la siguienteforma:

PX=xj= Pi=1j-1pi≤ U ≤ i=1jpi= pi

Para el problema planteado, dado que las xi están ordenadas de modo que x0<x1<x2<…, se procederá a utilizar la forma:
X=xj si Fxj-1≤U<F(xj)

Entonces se calcularán las distribuciones acumuladas de probabilidad respectivas:

Fxj= j=1n1j(j+1) = j=1n( 1j - 1j+1)=1- 1n+1

El cálculo anterior fue posible gracias a que se utilizaronfracciones parciales para separar la función de probabilidad y luego se le aplicó la propiedad telescópica de las sumatorias para obtener el resultado, lo que decantaría en:

X=n si Fxn-1≤U<F(xn)
X=n si 1- 1n≤ U<1- 1n+1
X=n si n-1n≤U< nn+1

Tomando el lado de la igualdad en la ecuación se obtiene:

n-1n=U
n-1=nU
n-nU=1
n1-U=1
n=11-U;parte entera
Por lo tanto, la...