Simulacion

Generación de números aleatorios
Introducción
Existe una cierta variación en cuanto al término (números aleatorios o seudoaleatorios) a utilizar para referirse a las secuencias de números, obtenidos mediante algún método automático de generación digital, que se ajustan a una distribución uniforme en el intervalo [0,1). A partir de ahora utilizaremos el término de números aleatorios parareferirnos a áquellos que cumplen lo anterior. En 1951 D.H. Lehmer1 , uno de los pioneros en computación y, especialmente, en teoría computacional de números, proporcionó la siguiente definición para números aleatorios: Una secuencia aleatoria es una noción difusa... en la que cada término es impredecible para el no iniciado y cuyos dígitos deben pasar una serie de pruebas tradicionales para losestadísticos... Aunque los diferentes métodos de generación de números aleatorios aparecen, casi siempre, descritos en libros de simulación, su utilización se extiende a muchas otras aplicaciones de las computadoras, como experimentos estadísticos, juegos de ordenador, criptografía, protocolos de seguridad, etc. Una secuencia de números aleatorios debe tener dos propiedades importantes, uniformidad eindependencia. La función densidad de probabilidad debe cumplir: f (x) = 1 si 0 ≥ x ≥ 1 0 en el caso contrario
1 0 xdx

E(R) = V (R) =
1 2 0 x dx

=

x2 1 2 |0

=

1 2 1 3

− (E(R))2 =

x3 1 3 |0

− ( 1 )2 = 2

−

1 4

=

1 12

Las consecuencias de la uniformidad e independencia referidas anteriormente son:
1 D. H. Lehmer. Mathematical methods in large-scale computing units.In Proc. 2nd Sympos. on Large-Scale Digital Computing Machinery, pages 141– 146. Harvard University Press, 1951.

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- Si (0,1) se divide en n clases o subintervalos de igual longitud, el número esperado de observaciones en cada subintervalo es N/n, donde N es el número total de observaciones. - La probabilidad de observar un valor en un determinado subintervalo es independiente de lasanteriores. Definición formal: Un generador de números aleatorios (nomenclatura inglesa: RNG) puede ser definido como una estructura G = (S, s0 , T, U, G), donde S es un conjunto conjunto finito de estados, s0 ∈ S es el estado inicial, T : S → S es la función de transición, U es un conjunto finito de símbolos de salida, y G : S → U es la función de salida. El generador comienza con el estado inicial s0(llamado semilla) y evoluciona de acuerdo con si := T (si−1 ), para i ≥ 1 y en cada paso i, obtiene la observación ui := G(si ). Se espera que las observaciones se comporten como si fueran valores de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas, uniformemente sobre U. El conjunto U es, a veces, un conjunto de enteros de la forma 0, . . . m − 1, o un conjunto finito de valores entre0 y 1, representación aproximada de la distribución U[0,1). A partir de ahora se va a considerar este último caso. Puesto que S es finito, la secuencia de estados es, al final, periódica. El periodo es el entero positivo mas pequeño ρ tal que, dado algún entero τ ≥ 0 y para todo n ≥ τ , sρ+n = sn . El τ mas pequeño con esa propiedad se denomina transitorio. Cuando τ = 0 la secuencia se dice que espuramente periódica. Independientemente de los criterios de calidad estadística, para la elección de un generador de números aleatorios, también se consideran relevantes: la velocidad, las necesidades de memoria, la transportabilidad, la repetibilidad, la facilidad de implementación y la disponibilidad de saltos hacia adelante. En Kahaner2 se definen cinco características sobre las que se deberíavalorar cualquier generador de números aleatorios: Calidad. Se deben satisfacer los tests estadísticos adecuados. Antes de la repetición de la secuencia debiera haber un periodo lo suficientemente largo. Eficiencia. El generador debiera ser rápido. Debe precisar la menor cantidad de almacenamiento posible. Repetibilidad. El método debe depender de una semilla, para permitir que un experimento se...