Simulacion

llevista Mexicana de Fú.iea 37 No. 3 (1991) 555-570

Hojas electrónicas en la solución de ecuaciones diferenciales parciales lineales de segundo orden
C.A. Estrada.Gasea y R.E. Cabanillas' en Maleria/es JAl1Joraiorio de Energia Solar, Irlstiluto de Irll'f'sliyru:ión Unit'ersid(u/ N(JCiorwl Autónoma de México Apartado postal :14, 62580 1ftfliuo, More/os, Afixico
(H.ecihido el 12 de febrero de1990; aceptado el 8 de febrero de 1991)

Resumen. Se desarrolla. una tnf'todología en la que se utilizan las lIa. mtldas hojas electrónicas de cá.lculo ptlrtl rpsnlvf'r numéricamente ecuaciones diferenciales parciill('s liueilles df' sp.c;undo ordf'n. Paril ilustrnr lil ilplicación de la metodología sc presPlltan lws pjl'fnplos que correspon. den a las ecuacionps dI' tipo f'líptiro, parahr',licoe hiperhólico. Cilda. tipo s(' ('j('mplifica con 1111 prnhh'rna físiro. El mptoilo apro\'t'cha las carilCterísticas de las tlojas ('Ip({rónicas filcilitalldo tanto la implementación del algoritmo numérico COIIIO d allO

+ Uyy = O
=
Uyy llyy

.1ac = O

=

1. Tipos de

EDI'

lirl('ales de segundo orden.

Para resoln'r la EDI' es uccesario ('spccificar las condiciones iniciales y defrontera. En 1.l'rminos generales. las condiciones iniciales y de frontera tienen la forma

oU + {3Un = J,
donde o. 13,...,. U Y Un son funciones de X y de }", el término Un = fJU JfJn significa la d('ri\"~da normal £1('{j en la frontera. Si l' = O, la cOlldición se denomina homogénea,

llojas electrónicas

en la solución.. .

557

i\ombre Dirichlet Neumann Hobin

Forma

Comentario13=0 o =O 0,13",0
Q

U especificado

Un especificada
al menos se especifica forma homogénea dos ecuaciones:

Cauchy

=O

13=0
TABLA

U y Un especificados

2. Tipos de condiciones

de frontera e inicial. La Tabla 2 muestra las formas y nombres de los

de otra manera es no-homogénea. distintos tipos de condiciones.

La combinación de una EDP y sus condiciones iniciales yde frontera deben producir un problema bien definido [3]. Esto quiere decir que dependiendo del dominio de interés (X, Y): i) Las ecuaciones hiperbólicas deherán Cauchy en un dominio abierto. estar asociadas con las condiciones tipo

ii) Las ecuaciones parabólicas con las condiciones tipo Dirichlet o Neumann, también en un dominio abierto.

iii) Las >;DI' elípticas con las condiciones del tipoDirichlet o Neumann pero en un
dominio cerrado. Se puede decir entonces que el tipo de EDP y por lo tanto el tipo de dominio sobre el cual se va a hacer la integración determinan la forma del método numérico a utilizar. El significado de dominio ahierto o cerrado quedará claro en los ejemplos que se presentan.

3. Diferencias

finitas

La derivada de un;:¡ función en un punto dado puede seraproximada por Diferencias Finitas (UF). Usando la expansión en serie de Taylor de una función alrededor de un punto fijo x con variaciones h de Xl se llega a las siguientes expresiones

J(x+h)

= J(x)+

hj'(x) ,

+

h'j"( )
2!x
2!

+-.- ....

(1 )
(2)

J(x-h)=J(x)-hJ(x)+
La primera derivada de la función (f'(x))

h'J"(x)

se representa

en forma de OF restando

las558

C.A. Estruda.Gasca y R.E. Cabanilfas

Ecs. (1) Y (2) Y ohteniéndose

¡'(x)

= f(x

+ h)

- f(x - h) 2h

h' J"'(x) 3'
las siguientes expresiones

(3)

Con base en estas 3 ecuaciones

se pueden ohtener

¡'(x) ¡'(x) ¡'(x)

= f(x

+ hl. -

f(x)

_ O(h),

(4 )
(5)

= f(x) = f(x

- {(x - h)

+ O(h),

+ h)

~ f(x - h) _ O(h'), 2¡

(6)

donde a lasEcs. (-t), (5) y (6) se les denomina diferencias adelantada, atrasada y centrada, respectivamente, ). O(h") son todos los demá.s términos de la expansión y especifica que el error de truncamiento es proporcional a h elevada a la potencia más grande que es común a todos los términos que componen el error de truncamiento [-1]. Asimismo, sumando Ia.s Ecs. (1) y (2), Y despejando el término de la...