Sistema De Ecuaciones Lineales

Sistema de ecuaciones lineales
Un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:

Sistemas homogéneos
Un sistema homogéneo es aquel que tiene todos los términos independientes nulos.Cualquier sistema homogéneo es evidente que es compatible, pues dando a cada incógnita el valor 0, se cumplen las ecuaciones. Esta solución (que todas las incógnitas sean nulas) se llama solución trivial.

a)x + y = 0
x − y = 0

b)x + y + z = 0
2x − y + z = 0

c)x + y − z = 0
2x − y + z = 0
4x + y − z = 0

Ecuaciones lineales no Homogéneas
La resolución de ecuaciones no homogéneas es, engeneral, bastante más difícil que para el caso homogéneo.
Empezamos con un resultado general, y, luego, veremos un método que, en ocasiones, funciona.

Suponemos una ecuación no homogénea

Y llamamos ecuación homogénea asociada a

Tipos de sistemas
Los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar según el número de soluciones que pueden presentar. De acuerdo con ese caso se puedenpresentar los siguientes casos:
Sistema incompatible si no tiene ninguna solución.
Sistema compatible si tiene alguna solución, en este caso además puede distinguirse entre:
Sistema compatible determinado cuando tiene un número finito de soluciones.
Sistema compatible indeterminado cuando admite un conjunto infinito de soluciones.
Quedando así la clasificación:

Los sistemas incompatiblesgeométricamente se caracterizan por (hiper)planos o rectas que se cruzan sin cortarse. Los sistemas compatibles determinados se caracterizan por un conjunto de (hiper)planos o rectas que se cortan en un único punto.
Los sistemas compatibles indeterminados se caracterizan por (hiper)planos que se cortan a lo largo de una recta [o más generalmente un hiperplano de dimensión menor]. Desde un punto devista algebraico los sistemas compatibles determinados se caracterizan porque el determinante de la matriz es diferente de cero:

Sistemas compatibles indeterminados
Un sistema sobre un cuerpo K es compatible indeterminado cuando posee un número infinito de soluciones. Por ejemplo, el siguiente sistema:

Tanto la primera como la segunda ecuación se corresponden con la recta cuya pendiente es yque pasa por el punto , por lo que ambas intersecan en todos los puntos de dicha recta. El sistema es compatible por haber solución o intersección entre las rectas, pero es indeterminado al ocurrir esto en infinitos puntos.
En este tipo de sistemas, la solución genérica consiste en expresar una o más variables como función matemática del resto. En los sistemas lineales compatiblesindeterminados, al menos una de sus ecuaciones se puede hallar como combinación lineal del resto, es decir, es linealmente dependiente.
Una condición necesaria para que un sistema sea compatible indeterminado es que el determinante de la matriz del sistema sea cero (y por tanto uno de sus autovalores será 0):

De hecho, de las dos condiciones anteriores se desprende, que el conjunto de soluciones de unsistema compatible indeterminado es un subespacio vectorial. Y la dimensión de ese espacio vectorial coincidirá con la multiplicidad geométrica del autovalor cero.
Sistemas incompatibles
De un sistema se dice que es incompatible cuando no presenta ninguna solución. Por ejemplo, supongamos el siguiente sistema:

Las ecuaciones se corresponden gráficamente con dos rectas, ambas con la mismapendiente, Al ser paralelas, no se cortan en ningún punto, es decir, no existe ningún valor que satisfaga a la vez ambas ecuaciones.
Matemáticamente un sistema de estos es incompatible cuando el rango de la matriz del sistema es inferior al rango de la matriz ampliada. Una condición necesaria para que esto suceda es que el determinante de la matriz del sistema sea cero:

Sistema de ecuaciones...