Sistema de ecuaciones lineales



























Sistema de ecuaciones lineales
En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anilloconmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:

El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x1, x2 y x3 que satisfacen las tres ecuaciones.
El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, análisis estructural,estimación, predicción y más generalmente en programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico.
Solución de una ecuación lineal
La solución de una ecuación es un número a tal que al sustituir su valor en X nos respete la igualdad. Cuando tenemos la solución de la ecuación decimos que hemos resuelto la ecuación y que a satisface la ecuación. En el caso deuna ecuación lineal, tenemos solo una solución.
Para resolver una ecuación, generalmente vemos simplificando la ecuación, hasta llegar a una expresión de la ecuación en donde la solución se encuentra con facilidad. La idea es agrupar todos los términos en X en un miembro de la ecuación y todos los términos constantes en el otro. Finalmente la X debe quedar sola en un miembro de la ecuación.
Pasospara la Solución de una ecuación lineal
1. Eliminar los paréntesis si los hay. Eliminamos todos los tipos de paréntesis si los hay, comenzando por el más interno resolviendo las operaciones indicadas.
2. Eliminamos los denominadores si los hay. Eliminamos los denominadores multiplicando a ambos lados de la igual dad por el máximo común múltiplo de los denominadores, si hay un solo denominadormultiplicamos a ambos lados de la igualdad por el denominador.
3. Agrupamos los términos semejantes. Agrupamos los términos con la variable X de un lado de la expresión (generalmente es el lado izquierdo) y las constantes de el otro lado para ello invertimos los signos de los términos al moverlos de miembro en la expresión.
4. Efectuamos las operaciones. Efectuamos las operaciones que seannecesarias para simplificar los términos.
5. Despejamos la variable. Despejamos la variable multiplicando ambos miembros de la expresión por el inverso multiplicativo del coeficiente e la variable.
6. Comprobar la solución. Comprobamos que la solución encontrada sea correcta sustituyendo la variable X si la igualdad se mantiene decimos que la solución es correcta.
Método de eliminación gaussiana
Enforma general este método propone la eliminación progresiva de variables en el sistema de ecuaciones, hasta tener sólo una ecuación con una incógnita. Una vez resuelta esta, se procede por sustitución regresiva hasta obtener los valores de todas las variables.
Sea por ejemplo el siguiente sistema de ecuaciones: 
Lo que buscamos son 3 números,  que satisfagan a las tres ecuaciones. El método desolución será simplificar las ecuaciones, de tal modo que las soluciones se puedan identificar con facilidad. Se comienza dividiendo la primera ecuación entre 2, obteniendo:

Se simplificará el sistema si multiplicamos por -4 ambos lados de la primera ecuación y sumando esta a la segunda. Entonces:

Sumándolas resulta

La nueva ecuación se puede sustituir por cualquiera de las dos. Ahoratenemos:

Luego, la primera se multiplica por -3 y se le suma a la tercera, obteniendo:

Acto seguido, la segunda ecuación se divide entre -3.
Ahora se multiplica por 5 y se le suma a la tercera:

En este momento ya tenemos el valor de x3, ahora simplemente se procede a hacer la sustitución hacia atrás, y automáticamente se van obteniendo los valores de las otras incógnitas. Se obtendrá:...