Sistema Formal Axiomático

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1) DEFINICION DE SISTEMA AXIOMTAICO FORMAL (SAF)
2) ESTRUCTURA DEL UN SAF
a. Componentes
b. Operaciones
c. Reglas de formación
d. Parte
e. Criterios de deduccion
3) REQUISITOS DEL SAF
a. Inde
b. Consistencia
c. Completad
4) PROCESO HISTORICO
a. Euclides
b. Aristóteles
c. Dedekind
d. Peano
e. Frege
f. Hilbert
g. Paradoja Russell
h. Teorema incompletad de Gödel
5) PASOS EN LACONSTRUCCION DE UN SISTEMA AXIOMATICO FORMAL
a. Fases
b. Variables
c. Conectivas
d. Tablas de Verdad
e. Reglas de transformación
i. Rs
ii. Rs
f. axiomas del

6) CONCLUSION: LAS LIMITACIONES INTERNAS DE LOS SISTEMAS AXIOMÁTICOS FORMALES





1) DEFINICION DE SISTEMA AXIOMATICO FORMAL (SAF)
DEFINICION de S.A.F.
Sistema formado por un conjunto de enunciados no demostrados,denominados axiomas, y unas reglas deductivas que, aplicadas a ellos, nos permiten obtener otros enunciados llamados teoremas. Un ejemplo de sistema axiomático deductivo es la geometría expuesta en los Elementos de Euclides.
El método axiomático consiste en
o aceptar sin prueba ciertas proposiciones como axiomas o postulados,
o y en derivar luego de esos axiomas todas las demás proposiciones delsistema, en calidad ya de teoremas.

o Los axiomas constituyen los "cimientos" del sistema;
o los teoremas son las "superestructuras",
y se obtienen a partir de los axiomas sirviéndose, exclusivamente, de los principios de la lógica.

La principal característica de un sistema axiomático es:

si puede demostrarse de la verdad de los axiomas,
entonces quedan automáticamente garantizadas:a) tanto la verdad como
b) la consistencia mutua de todos los teoremas

En matemáticas, un sistema axiomático consiste en un conjunto de axiomas que se utilizan, mediante deducciones, para demostrar teoremas. Una teoría matemática es un sistema axiomático y, por tanto, todos los teoremas derivados de ellos. Un ejemplo de sistema axiomático deductivo es la geometría euclidiana, compilada porEuclides en los Elementos




La lógica se organiza, o puede ordenarse, como un sistema axiomático formal (SAF).

Un SAF tiene la siguiente ESTRUCTURA:


1.1 Componentes primitivos
, e. d., signos que carecen de todo contenido material, de todo significado semántico. Los signos del SAF no son “semantemas”. Son los “átomos” del lenguaje formal. Ejemplo: p, q, r, s, etc. Estoscomponentes son las variables de nuestro lenguaje lógico. Sea p cualquier proposición, puede valer en una lógica bivalente 1 (verdad) ó 0 (falsedad).

1.2 Operadores.
Un montón de signos aislados no constituyen un lenguaje lógicamente articulado. Tienen que poder enlazarse, relacionarse, componerse entre sí, mediante operaciones, que conectan (conectores o conectivas) unos signos con otros Es decirLos componentes primitos se enlazan, relacionan y componen mediante operaciones que conectan unos signos con otros mediante conectivas
El número de signos puede ser variable. En nuestra lógica bivalente, podríamos jugar con 16 conectores distintos, aunque suelen usarse menos.


Dentro de los operadores podemos distinguir entre
A. operadores primitivos y
b. derivados.

En lógicapreposicional, el número mínimo de operadores primitivos es uno.

Toda el SAF de la lógica de proposiciones puede construirse utilizando como operador primitivo el de Sheffer (/) -número 14 del diagrama de Alfredo Deaño (Introducción a la Lógica formal, Madrid, 1974)-, siendo los demás derivados. También puede utilizarse como único operador primitivo el operador de Peirce (nº 4), aunque el uso de unsolo operador primitivo hace muy engorrosas las expresiones proposicionales, por lo que suelen utilizarse como mínimo tres: negador, conjuntor y disyuntor inclusivo (v).

1. 3 Reglas de formación.

indican como a partir de los componentes primitivos se pueden engendrar nuevos componentes, o componentes derivados del lenguaje formal. Al conjunto de las reglas de formación le llamamos sintaxis...
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