Ciencias Formales; Sistémas axiomáticos

Sistemas axiomáticos



En esta clase se pretende que los alumnos puedan tener un panorama más acabado del concepto de sistema axiomático, de su funcionamiento y su utilidad. Así, les proponemos al final de esta introducción, una actividad para que Uds. mismos prueben realizar derivaciones en un sistema axiomático.

Bibliografía

Asti Vera, C.; Ambrosini, C., Argumentos y teorías.Aproximación a la epistemología, Buenos Aires, Educando, 2009, Cap.4

Klimovsky, G., Las desventuras del conocimiento científico, Buenos Aires, AZ, 2005, Cap., 18



¿Qué es un sistema axiomático y cuál es su utilidad?

Cabe la necesidad de advertir al lector que, lo que se expondrá en lo sucesivo, corresponde a la caracterización de los sistemas axiomáticos modernos.

Comencemos indicando lautilidad de un sistema. Como ya se ha podido ver en el cuadro de las primeras páginas del libro Argumentos y teorías, la clasificación actual de las ciencias distingue entre ciencias formales y ciencias fácticas, y para cada una de ellas, podemos decir que a) utilizan cierto tipo de proposiciones: tautológicas unas y contingentes otras; b) implican el uso de un determinado nivel de lenguaje:sintáctico unas, semántico y pragmático otras; c) poseen diversos modos de validación: demostración en un caso, verificación, confirmación, corroboración y refutación en otro, etc. Pero también podemos decir que las diferencia la cuestión metodológica. En el programa de la materia, y en el libro que utilizamos, las unidades 4, 5 y 6 –y los capítulos correspondientes del libro- están dedicados a lacuestión del método en unas y otras ciencias. En el caso de las ciencias formales, el método para la demostración de sus teorías es lo que se denomina “Sistema axiomático”. De esta manera podemos decir, en un sentido amplio, que la utilidad, el para qué, de un sistema axiomático, es la demostración de las teorías de las ciencias formales: matemática y lógica. Con ello damos cuenta de otra diferenciacon las ciencias fácticas. Mientras el modo de validación de sus teorías está dado por la verificación (inductivismo estrecho), la confirmación (inductivismo sofisticado), la corroboración (falsacionismo) o la refutación, en las ciencias formales, en cambio, está dado por la demostración.

¿Y qué es una demostración? Cohen y Nagel indican que una demostración es una prueba lógica, es decir, conella no decimos nada acerca de la realidad, porque en las ciencias formales la verdad de sus proposiciones no se demuestra (o valida) por ningún método empírico, con lo cual, por más que intentemos probar la verdad de un teorema matemático, por ejemplo, con el uso de transportadores, reglas, compás, etc., no estamos demostrando el teorema, ya que una demostración constituye un procedimiento formal,en el sentido de una derivación lógica. Así, una prueba lógica o una demostración es sólo el señalamiento de las implicancias entre un conjunto de proposiciones y otro.

¿Qué significa este señalamiento de implicancias? Podemos decir, en términos generales, que es el señalamiento de una derivación, derivo una proposición o un conjunto de proposiciones de otro conjunto de proposiciones. Estasproposiciones que me permiten derivar hacia otras son denominadas axiomas (es decir, puntos de partida del sistema que no necesitan demostración y se los “supone” convencionalmente –por una cuestión metodológica- verdaderos). Las otras proposiciones derivadas de los axiomas, se denominan teoremas, y estos son, para decirlo en términos amplios, los puntos de llegada del sistema, y son demostrados apartir de los axiomas.

Si quisiéramos establecer un paralelismo con los razonamientos, diremos que los axiomas son las premisas y los teoremas la conclusión. Ahora, para derivar conclusiones (teoremas) de premisas (axiomas) hemos podido observar en la unidad 2 que necesitamos algo más.

El cuadro de las primeras páginas de Argumentos y teorías nos muestra que las ciencias formales utilizan...